Заметки о пространстве, времени, материи, движении материи 5 страница

Изменение кинетической энергии материальной точки, на которую наложена идеальная связь, на некотором конечном участке траектории, расположенной на этой связи равно работе активной силы, действующей на эту точку, на том же участке траектории, так как работа нормальной реакции поверхности равна нулю. Но если же поверхность (или кривая), представляющая связь, движется, то абсолютное перемещение точки может не быть перпендикулярно к нормальной реакции связи и тогда работа реакции связи в абсолютном движении точки не будет равна нулю. Например, работа реакции платформы лифта, по поверхности которой движется материальная точка. Если неподвижная поверхность (или кривая), по которой движется точка, не является гладкой, то изменение кинетической энергии несвободной точки равно работе активной силы, действующей на эту точку на этом участке траектории, минус работа силы трения на этом же участке траектории, так как сила трения направлена в сторону, противоположную вектору абсолютной скорости точки.

Основной закон динамики несвободной материальной точки с массой можно записать как , где - ускорение материальной точки, - равнодействующая всех приложенных к этой несвободной точке активных сил, - полная сила реакции связи, являющаяся векторной суммой нормальной силы реакции связи и динамической силы трения. Этот закон справедлив в инерциальной системе отсчета.

Если рассматривать движение материальной точки с массой относительно неинерциальной системы отсчета , т.е. относительно такой системы, которая произвольным образом (с ускорением) движется по отношению к инерциальной системе отсчета (движение точки по отношению к такой неинерциальной системе отсчета называют относительным), то можно видеть, что изменение относительного движения точки может происходить: во-первых, в результате механического взаимодействия этой точки с другими материальными объектами и, во-вторых, вследствие ускоренного движения системы отсчета по отношению к системе отсчета . Под другими материальными объектами мы понимаем тела, от механического взаимодействия с которыми получается приложенная к точке активная сила , и тела, осуществляющие связи, действие которых на точку характеризуется реакцией связей . Причиной же изменения относительного движения точки, которое обусловлено неинерциальностью подвижной системы отсчета (подвижная система отсчета движется в общем случае как свободное твердое тело), являются переносная и кориолисова силы инерции ( и ).

Поэтому основное уравнение динамики относительного движения материальной точки можно составить так же, как и основное уравнение динамики абсолютного движения точки, если только к действующим на точку силам ( и ) присовокупить переносную и кориолисову силы инерции ( и ): . Следует заметить, что силы инерции и не являются результатом механического взаимодействия материальной точки с другими материальными объектами внешнего мира. Появление этих сил целиком обусловлено движением неинерциальной системы отсчета по отношению к инерциальной системе и движением материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета ; при этом силы инерции и являются как бы поправками на неинерциальность подвижной системы отсчета . Переносное ускорение точки равно , где - ускорение начала подвижной системы отсчета, - вектор угловой скорости переносного вращения (вращения подвижной системы отсчета) и - вектор углового ускорения вращения подвижной системы отсчета относительно инерциальной; - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно начала подвижной системы отсчета. Кориолисово (или поворотное) ускорение равно , где - вектор относительной скорости точки (скорость вычисляется так что подвижная система отсчета как бы условно считается неподвижной), оно появляется в случае вращения подвижной системы отсчета. Дифференциал кинетической энергии материальной точки в ее относительном движении равен сумме элементарных работ активной силы, силы реакции связей и переносной силы инерции: (элементарная работа кориолисовой силы инерции , так как кориолисова сила инерции всегда направлена перпендикулярно к вектору относительной скорости , а следовательно, и к вектору элементарного относительного перемещения ).

Арифметическая сумма кинетических энергий всех материальных точек механической системы называется кинетической энергией механической системы . Суммы и являются соответственно суммой элементарных работ всех внешних сил, действующих на систему, и суммой элементарных работ всех внутренних сил, действующих на систему. Дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ всех внешних и всех внутренних сил, действующих на систему (на материальные точки системы): . Изменение кинетической энергии механической системы при конечном перемещении ее из одного положения в другое равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему: . Если расстояние между материальными точками системы изменяется, то сумма элементарных работ внутренних сил отлична от нуля; поэтому очень важно иметь в виду, что для изменяемой механической системы сумма элементарных работ всех внутренних сил может быть не равна нулю. В число внешних и внутренних сил, выполняющих работу, входят и активные силы и силы реакций связи; но в случае стационарных связей без трения реакции таких связей не производят работы при любом перемещении системы. Производная по времени (скорость изменения) от кинетической энергии системы равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему: . Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной и конечной формах дает решение задач, относящихся к динамике системы, только тогда, когда внутренние силы наперед известны. Если же внутренние силы неизвестны, то получить решение с помощью одной только этой теоремы нельзя. В случае неизменяемой механической системы (например, абсолютно твердого тела) расстояния между точками приложения внутренних сил при движении системы не изменяются, и, следовательно, сумма элементарных работ всех внутренних сил на любом перемещении этой системы всегда равна нулю. Тогда для неизменяемой системы изменение кинетической энергии равно работе внешних сил: . Поэтому только в случае неизменяемой системы теорема об изменении кинетической энергии позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при наличии только стационарных связей без трения и наперед неизвестные силы реакции внешних связей. Кинетическая энергия механической системы при произвольном движении равна сумме кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточна масса всей системы, и кинетической энергии системы в ее движении по отношению к центру масс.

Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного и вращательного движения твердого тела. В случае поступательного движения твердого тела все точки этого тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс. Следовательно, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс. Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. Кинетическая энергия твердого тела при проскопараллельном движении равна сумме кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всего тела, и кинетической энергии тела в его вращательном движении вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к данной неподвижной плоскости движения. Кинетическая энергия тела в общем случае движения равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс, т.е. формула ее вычисления совпадает со случаем плоскопараллельного движения твердого тела.

Если выбрать в теле произвольную точку за полюс, тогда элементарная работа всех сил, действующих на абсолютно твердое тело равна главному вектору приложенной к телу системы сил, умноженному на дифференциал радиус-вектора полюса , плюс главный момент этой системы сил относительно мгновенной оси вращения твердого тела, проходящей через полюс , умноженный на дифференциал угла поворота тела вокруг мгновенной оси: ; мощность всех сил, действующих на твердое тело, равна скалярному произведению главного вектора этих сил на вектор скорости полюса плюс главный момент этой системы сил относительно мгновенной оси вращения твердого тела, проходящей через полюс , умноженный на угловую скорость твердого тела . Эти определения работы и мощности действующих сил одинаковы для произвольно движущегося и плоскопараллельно движущегося твердого тела, с тем лишь дополнением, что мгновенная ось плоскопараллельно движущегося твердого тела перпендикулярна плоскости движения). В случае твердого тела, движущегося поступательно, элементарная работа действующих на тело сил равна главному вектору этих сил, умноженному на дифференциал радиус-вектора (элементарное перемещение), одинаковый для всех точек тела; мощность в этом случае равна скалярному произведению главного вектора приложенных сил на вектор скорости тела. В случае твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, элементарная работа сил, действующих на тело равна (суммарному) вращающему моменту (главный момент сил относительно неподвижной оси), умноженному на элементарный угол поворота тела; работа сил на некотором конечном угле поворота тела равна интегралу элементарных работ на конечном угле поворота; мощность сил равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. В случае, когда силы действуют на тело так, что их вращающий момент остается постоянным, работа сил на конечном угле поворота равна постоянному вращающему моменту относительно неподвижной оси, умноженному на величину конечного угла поворота тела.

Что касается вычисления работы сил, действующих на механическую систему, то работа каждой из сил (как внешних, так и внутренних) при любом перемещении точек приложения этих сил вычисляется по отдельности точно теми же способами как и при решении задач динамики точки, после чего полученные работы всех сил суммируются алгебраически. Работа сил тяжести, действующих на систему, при любом движении этой системы равна произведению веса системы на разность высот начального и конечного положений центра масс системы; эта работа положительна (со знаком плюс), если центр масс опускается к Земле, и отрицательна, если центр масс поднимается.

Дифференциал кинетической энергии механической системы в ее движении относительно системы координат с началом в центре масс и перемещающейся поступательно равен сумме элементарных работ внешних и внутренних сил на перемещениях относительно центра масс. Интегрируя сумму элементарных работ внешних и внутренних сил на перемещениях системы относительно центра масс между пределами, соответствующими двум положениям системы – начальному 1 и конечному 2, получим теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной форм для движения системы относительно центра масс. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы формулируется в дифференциальной и конечной формах для относительного движения так же, как и для движения абсолютного, если только подвижная система координат имеет начало в центре масс и движется поступательно отногсительно неподвижной системы координат.

Среди сил, которые могут действовать на материальную точку при ее механическом взаимодействии с другими материальными объектами, встречаются силы, зависящие только от положения этой точки, т.е. от ее координат , , . Для таких сил характерно понятие силового поля. Силовым полем называется ограниченная или неограниченная часть пространства, в каждой точке которого на находящуюся там материальную точку действует определенная по модулю и направлению сила, зависящая только от положения этой точки, т.е. от координат , , . Функция координат, частные производные (скорости изменения) которой по координатам равны проекции силы силового поля на соответствующие координатные оси, называется силовой функцией данного силового поля, а само силовое поле при этом называется потенциальным или консервативным; сила же потенциального силового поля называется потенциальной или консервативной силой. Хотя потенциальные силы составляют совершенно частный вид сил, тем не менее они имеют важное значение, так как многие силы природы являются потенциальными силами. Примерами потенциальных сил являются сила тяжести, сила упругости, сила ньютоновского тяготения. Элементарная работа потенциальной силы равна полному дифференциалу силовой функции . Такая взаимосвязь элементарной работы потенциальной силы и полного дифференциала силовой функции силового поля может быть использована для определения силовой функции по заданной потенциальной силе с точностью до произвольного постоянного, интегрируя равенство . За счет выбора произвольной постоянной достигают того, чтобы в определенной точке силовая функция обращалась в нуль; постоянную интегрирования определяют исходя из этого условия. Работа потенциальной силы по перемещению материальной точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути и, следовательно, не зависит ни от формы, ни от длины траектории, по которой перемещается точка. Работа потенциальной силы на всякой замкнутой траектории равна нулю, так как в этом случае конечное положение точки приложения этой силы совпадает с ее начальным положением и, следовательно, значения силовой функции в конечной и начальной точках пути равны, т.е. . Поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью называется геометрическое место точек потенциального силового поля, значение силовой функции в которых одинаково. Построив семейство эквипотенциальных поверхностей для различных значений силовой функции, получаем геометрическую картину потенциального силового поля столь же полную, как если бы в каждой точке этого поля изобразили вектором соответствующую потенциальную силу. При этом эквипотенциальные поверхности не пересекаются, что вытекает из однозначности силовой функции.

Если материальная точка получает элементарное или конечное перемещение вдоль эквипотенциальной поверхности, то работа приложенной к ней потенциальной силы равна нулю, так как . Поэтому, потенциальная сила всегда направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности, на которой находится материальная точка. Если же точка перемещается с одной эквипотенциальной поверхности на другую эквипотенциальную поверхность, то работа потенциальной силы, действующей при этом на материальную точку, уже не равна нулю, а равна разности значений силовой функции на поверхностях уровня, содержащих конечную и начальную точку пути материальной точки, причем независимо от того, как перемещалась точка с одной эквипотенциальной поверхности на другую. Если , тогда работа потенциальной силы, равная положительна и, следовательно, приложенная к материальной точке потенциальная сила всегда направлена в сторону возрастания силовой функции. Исходя из того, что работа потенциальной силы по перемещению точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках пути, то силовую функцию в заданном положении, взятую с обратным знаком, можно представить как работу, которую могла бы выполнить потенциальная сила по перемещению материальной точки из заданного положения в положение (в точку пространства), где значение силовой функции равно нулю; так, например, в случае поля силы тяжести силовую функцию на поверхности Земли принимают за нулевую; для гравитационного поля Земли силовую функцию на бесконечном удалении от Земли приравнивают к нулю; в случае силы упругости силовую функцию считают равной нулю при недеформированном состоянии пружины. С другой стороны, по теореме об изменении кинетической энергии следует, что работа силы равна («идет на») изменению кинетической энергии материальной точки и, следовательно, силовая функция характеризует запас энергии материальной точки в заданном пункте потенциального силового поля; вследствие чего силовую функцию с обратным знаком называют потенциальной энергией материальной точки . Из этого определения потенциальной энергии материальной точки видно, что потенциальная энергия зависит только от ее положения, т.е. от ее координат . Таким образом, в каждый момент времени материальная точка, находящаяся в потенциальном силовом поле имеет некоторую кинетическую энергию и запас - потенциальную энергию ; сумма этих энергий является полной механической энергией материальной точки . Если сила силового поля остается постоянной (по модулю и направлению), то такое силовое поле называется однородным. Так, например, небольшое по размерам, сравнительно с радиусом Земли, поле силы тяжести может считаться однородным. Сила тяжести, действующая на материальную точку, в этом случае равна , где - ускорение свободного падения вблизи Земли, начало координат помещено на поверхности земли. Силовая функция однородного поля силы тяжести (гравитационного силового поля Земли) вблизи поверхности Земли равна (ось направлена вертикально вверх, начало координат на поверхности Земли). Эквипотенциальными поверхностями поля силы тяжести являются горизонтальные плоскости , параллельные плоскости . Сила тяжести направлена вертикально вниз, т.е. по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания силовой функции (в сторону убывания потенциальной энергии). Потенциальная энергия материальной точки в однородном поле силы тяжести равна . Поле силы упругости пружины, действующей вдоль оси можно назвать линейным; в нем областью, в которой задано силовое поле, является прямая линия. Если при пружина недеформирована, то при малых отклонениях точки можно считать, что со стороны пружины к ней приложена сила , где - коэффициент жесткости пружины. Потенциальная энергия материальной точки в поле силы упругости пружины равна . При рассмотрении ряда задач по динамике материальной точки оказывается, что тело, действующее на материальную точку, создает поле сил, обладающих тем свойством, что в каждый момент времени их линия действия проходит через одну и ту же неподвижную точку , находящуюся в теле. Если, кроме того, модуль действующих на материальную точку сил является функцией только расстояния этой материальной точки от точки , то силовое поле называется центральным, а силы этого силового поля называются центральными. При этом точку называют центром поля сил. Эквипотенциальные поверхности центрального силового поля представляют собой сферы с центром в начале координат – центре поля сил. В случае поля тяготения Земли (случай движения материальной точки в поле тяготения Земли, когда высота полета материальной точки сравнима с радиусом Земли) на материальную точку действует сила тяготения, являющаяся центральной, направленной к центру Земли, равная или ; ; где - гравитационная постоянная; – масса точки, – масса Земли; - радиус вектор материальной точки (начало координат в центре Земли); – радиус Земли. Считая, что силовая функция гравитационного поля Земли на бесконечном удалении равна при , получается что силовая функция поля тяготения Земли равна ; потенциальная энергия материальной точки, движущейся в поле тяготения Земли равна .

Если сила, действующая на материальную точку, потенциальна, то полная механическая энергия этой точки остается во все время движения в потенциальном силовом поле постоянной. Этот закон сохранения механической энергии материальной точки в силовом поле является частным случаем более общего физического закона сохранения энергии. Если наполнить потенциальное силовое поле некоторой средой, которая оказывает сопротивление движению материальной точки, пропорциональное скорости движения (силы, работа которых зависит от формы траектории или от скорости движения точки приложения силы, называются непотенциальными, или неконсервативными; к таким силам относятся силы трения и сопротивления среды), то полная механическая энергия точки, движущейся в таком силовом поле, будет убывать, но с точки зрения общего физического закона сохранения энергии она не исчезает, а переходит в другие формы энергии, например, в тепловую. Обобщая можно сформулировать теорему о законе сохранения механической энергии механической системы, движущейся в потенциальном силовом поле: если внешние и внутренние силы, действующие на механическую систему, потенциальны, то полная механическая энергия системы остается во все время движения постоянной. Происходит лишь превращение одного вида энергии в другой – потенциальной в кинетическую и обратно, но полная механическая энергия системы остается постоянной. Механические системы, для которых справедлив закон сохранения механической энергии, называются консервативными.

Дата добавления: 2015-11-03