Заметки о пространстве, времени, материи, движении материи 4 страница

Все точки тела, лежащие на любой центральной оси инерции, обладают тем свойством, что их главные оси всегда параллельны главным центральным осям. Следствием этого является то, что каждая центральная ось инерции является главной осью инерции для любой точки тела, лежащей на этой центральной оси. В общем случае определение направления главных центральных осей инерции тела представляет собой весьма сложную задачу. Однако очень часто можно установить направление главных центральных осей инерции, исходя из соображений симметрии тела при наличии у тела симметричной формы. Осью материальной симметрии тела называется такая ось, относительно которой масса тела распределена симметрично; это означает, что если ось является осью материальной симметрии, то каждой элементарной частице тела с массой и координатами , , соответствует симметричная относительно оси материальной симметрии тела частица с такой же массой и координатами , , . Если однородное твердое тело имеет ось геометрической симметрии, то эта ось будет также и осью динамической (материальной) симметрии, но не наоборот. Если однородное твердое тело имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции тела. Плоскостью материальной симметрии называется такая плоскость, относительно которой масса тела распределена симметрично; это означает, что если координатная плоскость является плоскостью материальной симметрии, то каждой частице тела с массой и координатами , , соответствует частица с такой же массой и координатами , , . Если однородное твердое тело имеет плоскость материальной симметрии, то всякая ось, перпендикулярная к этой плоскости, является главной относительно точки пересечения оси с плоскостью. Если однородное твердое тело имеет плоскость материальной симметрии, то центр масс (центр тяжести) этого тела лежит в этой плоскости, а одна из главных его центральных осей инерции перпендикулярна к плоскости материальной симметрии и проходит через центр масс.

Следует также отметить, что порядок определения движения механической системы через определение движения каждой материальной точки системы в отдельности обычно не применяется, так как он слишком сложен и почти всегда связан со сложными математическими вычислениями. Для получения полного решения этой задачи необходимо составить и проинтегрировать систему совокупных дифференциальных уравнений второго порядка относительно координат точек механической системы. Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения механической системы. Если число точек механической системы равно , то тогда число дифференциальных уравнений движения механической системы будет . Кроме того, в большинстве случаев при решении динамических задач бывает достаточно знать некоторые суммарные характеристики движения механической системы в целом, а не движение каждой из ее точек в отдельности. Эти суммарные характеристики движения механической системы определяются с помощью общих теорем динамики механической системы, являющихся следствиями дифференциальных уравнений движения механической системы. К числу общих теорем динамики механической системы относятся: теорема об изменении вектора количества движения всех материальных точек механической системы и, что то же по существу, но в другой форме, теорема о движении центра масс механической системы; теорема об изменении кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии системы. При решении конкретных задач механики часто приходится применять не одну, а сразу несколько общих теорем динамики. Для твердых тел эти теоремы можно вывести из теорем, установленных для механических систем путем предельного перехода. Особенно важное значение имеют следствия из общих теорем динамики механической системы, получаемые при некоторых предположениях о действующих силах и называемые законами сохранения вектора количества движения механической системы (сохранения движения центра масс системы), сохранения кинетического момента и сохранения механической энергии системы.

Вектор , равный по модулю произведению массы материальной точки на модуль скорости и имеющий направление скорости этой материальной точки, называется вектором количества движения, или количеством движения материальной точки. Вектор количества движения материальной точки служит векторной мерой механического движения этой точки. Производная по времени от вектора количества движения материальной точки равна действующей на эту точку силе. Изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно полному импульсу действующей на эту точку силы за тот же промежуток времени. Вектор количества движения всех материальных точек механической системы равен геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек механической системы, а также равен произведению суммарной массы системы на вектор скорости ее центра масс. Вектор количества движения механической системы является векторной мерой механического движения системы как целого. Иногда эту характеристику называют вектором суммарного количества движения механической системы. Производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на механическую систему. Изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно полному импульсу главного вектора всех действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени. Вектор суммарного количества движения всех материальных точек системы, как и вектор скорости центра масс системы, изменяются только под действием внешних сил, приложенных к материальным точкам системы; внутренние силы механической системы изменить ее вектор количества движения как и движение ее центра масс не могут. Вектор количества движения механической системы как и скорость центра масс системы характеризует только поступательное движение тела и, конечно, всякой другой механической системы. Так, например, для вращающегося твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс, вектор количества движения равен нулю, так как вектор скорости центра масс равен нулю. Однако для катящегося колеса вектор количества движения не равен нулю, так как вектор скорости центра масс не равен нулю. Поэтому вычислив вектор количества движения или скорость центра масс, невозможно определить вращается ли тело (механическая система) или нет. Центр масс механической системы движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равнялась бы массе всей системы, и к которой был бы приложен главный вектор (геометрическая сумма) всех внешних сил, действующих на систему. Или, что то же самое, центр масс системы движется как материальная точка с массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, на самом деле приложенные к точкам системы, которые, в общем случае, не совпадают с центром масс; при этом требуется параллельный перенос действующих сил в центр масс системы. Если внешние силы отсутствуют или главный вектор всех действующих на механическую систему внешних сил равен нулю, то центр масс этой системы остается в покое (вектор суммарного количества движения всех материальных точек системы остается равным нулю) или движется равномерно и прямолинейно (вектор суммарного количества движения всех материальных точек системы остается равным своему значению – начальному количеству движения). Этот закон сохранения вектора количества движения механической системы (сохранения движения центра масс системы) можно продемонстрировать следующим опытом.

На конце вагонетки, стоящей на горизонтальных рельсах, стоит человек, который в некоторый момент начинает идти вдоль вагонетки от конца к . Совокупность тел: вагонетка и человек можно рассматривать как механическую систему. Внутренними силами являются силы взаимодействия между человеком и вагонеткой. Внешними силами, действующими на механическую систему, являются вес человека , вес вагонетки и реакции связей – реакции рельс , . Рельсы являются достаточно гладкими, поэтому силы трения незначительны и можно считать реакции рельс, направленными перпендикулярно к рельсам. Тогда все внешние силы, которые действуют на систему, можно считать такими, которые не влияют на горизонтальное движение системы. Внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы. Так как в начале система была неподвижна, то при движении человека от к вагонетка движется в противоположном направлении так, что центр масс системы остается неподвижным ( const).

Примером, показывающим необходимость реакций внешних связей для движения центра масс системы может служить автомашина на гладкой горизонтальной плоскости (на льду).

Внешними силами для системы, которую представляет собой автомашина, является вес автомашины и нормальные реакции гладкой горизонтальной плоскости. Все эти силы вертикальны, и поэтому сумма их проекций на любую горизонтальную ось равна нулю. Следовательно, проекция вектора скорости центра масс (центра тяжести) автомашины на эту ось должна быть постоянной величиной. Если автомашина вначале стояла неподвижно, то из-за отсутствия горизонтальных внешних сил эта горизонтальная скорость центра масс будет оставаться равной нулю и в дальнейшем. Активная сила давления газа на поршень двигателя есть по отношению к автомашине сила внутренняя и сама по себе не может переместить центр масс автомашины. Поэтому как бы интенсивно ни работал двигатель, центр масс автомашины останется на месте. Чтобы автомашина могла передвигаться, необходимы горизонтальные внешние силы – в данном случае сцепление колес с полотном дороги, которое является реакцией внешних связей. Движение автомашины происходит потому, что двигатель передает ведущим колесам автомашины вращающий момент. При этом точки касания ведущих колес с полотном дороги стремятся скользить (двигаться в касательной плоскости к поверхности дороги, проведенной через точку касания колеса с поверхностью дороги) влево. Тогда со стороны полотна дороги на ведущие колеса в точках касания будет действовать сила трения скольжения, направленная вправо, т.е. в сторону движения автомашины. Эта сила и является той необходимой горизонтальной внешней силой, которая вызывает перемещение центра тяжести автомашины вправо. Если эта сила отсутствует или если она недостаточна для сопротивления (противодействия) скольжению ведомых колес автомашины, то автомашина двигаться вправо не будет; ее ведущие колеса будут вращаться на месте (буксовать). Сила трения скольжения, развивающаяся в местах соприкосновения ведущих колес автомашины, создает возможность движения.

При поступательном движении механической системы ее центр масс движется так же, как и все остальные точки этой системы. Определив движение центра масс поступательно движущейся механической системы, тем самым определим и движение любой точки этой системы, следовательно, определим движение всей механической системы. Если же механическая система движется непоступательно, то это сложное движение можно разложить на абсолютное поступательное движение точек системы вместе с центром масс и на относительное движение вокруг центра масс как неподвижной точки. При этом поступательное движение будет характеризоваться производной по времени от вектора количества движения всех материальных точек механической системы или вектором ускорения центра масс механической системы. Что же касается движения механической системы около центра масс, то оно не может быть определено через эти характеристики, так как вектор количества движения механической системы и скорость центра масс относительно центра масс всегда равен нулю.

Вектор, равный векторному произведению радиус-вектора, определяющему в момент времени положение движущейся материальной точки относительно неподвижного центра, на произведение массы точки на ее вектор скорости называется моментом количества движения, или кинетическим моментом материальной точки относительно неподвижного центра. Производная по времени от кинетического момента материальной точки относительно какого-нибудь неподвижного центра равна моменту действующей на эту точку силы относительно того же центра. Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки относительно оси называется проекция на эту ось момента количества движения точки относительно любого выбранного на данной оси центра. Производная по времени от кинетического момента материальной точки относительно какой-нибудь неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Вектор, равный геометрической сумме кинетических моментов (моментов количеств движения) всех материальных точек механической системы относительно какого-либо неподвижного центра, называется кинетическим моментом системы материальных точек относительно неподвижного центра. Подобно тому, как вектор количества движения механической системы характеризует только ее поступательное движение, кинетический момент механической системы характеризует ее вращательное движение. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равна главному моменту (геометрической сумме моментов) всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

Понятие момента силы возникло в связи с определением вращательного действия силы, приложенной к телу, имеющему неподвижную точку или неподвижную ось; понятие момента силы также связано с определением вращательного действия силы, приложенной к механической системе, вокруг некоторой точки или оси. Моментом силы , приложенной в точке , относительно точки (центра) называется вектор, приложенный в точке , равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы . Модуль момента силы относительно точки равен произведению модуля силы на модуль радиус-вектора точки приложения силы на синус угла между вектором силы и радиус-вектором и, таким образом, равен произведению модуля силы на плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного из центра на линию действия силы); направлен момент силы в ту сторону, откуда вращение тела силой вокруг центра представляется происходящим против хода часовой стрелки; направлен же момент силы перпендикулярно к плоскости, в которой лежат радиус-вектор точки приложения силы и вектор силы в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение радиус-вектора с вектором силы, если их отложить от одной точки, видно происходящим против хода часовой стрелки. При рассмотрении вращения тела (системы) вокруг некоторой оси вводится еще понятие о моменте силы относительно оси. Момент силы относительно оси равен моменту проекции этой силы на произвольную плоскость, перпендикулярную к этой оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью; момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора-момента этой силы относительно произвольной точки, лежащей на этой оси. Момент силы относительно оси считают положительным, если с положительного конца оси поворот, совершаемый проекцией этой силы на произвольную плоскость, перпендикулярную к этой оси, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Момент силы относительно оси, таким образом, вполне определяется своей абсолютной величиной и знаком и является, следовательно, алгебраической, а не векторной величиной.

Внутренние силы изменить кинетический момент системы не могут, так как главный момент всех внутренних сил, действующих на точки системы, относительно какого-либо неподвижного центра по свойству внутренних сил системы равен нулю. Если главный момент всех внешних сил, действующих на механическую систему, относительно данного неподвижного центра все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно того же центра остается постоянным по модулю и направлению. Если при этом в начальный момент времени движения все точки системы находятся в состоянии покоя, то кинетический момент системы, вычисленный относительно какого-нибудь неподвижного центра в начальный момент времени, равен нулю и остается равным нулю во все время движения. Для кинетического момента системы относительно оси справедливы те же утверждения. Кинетическим моментом системы относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента системы относительно любого выбранного на этой оси центра. Производная по времени от кинетического момента системы относительно оси равна алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на точки системы, относительно оси.

Круглая горизонтальная платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр так, что ее трением об ось при вращении можно пренебречь; по платформе на неизменном расстоянии от оси вращения начал идти человек с постоянной относительной по отношению к платформе скоростью . Можно рассматривать человека и платформу как одну механическую систему, при этом неизвестные силы трения между подошвами обуви человека и платформой из рассмотрения исключаются. Действующие на эту систему внешние силы (вес платформы , вес человека , реакции подпятника и подшипника ) либо параллельны оси вращения либо пересекают эту ось и поэтому не оказывают влияния на вращение системы (их моменты относительно оси вращения равны нулю). Так как кинетический момент системы относительно оси вращения в начальный момент времени был равен нулю, то при движении человека по платформе против хода часовой стрелки платформа начнет вращаться по часовой стрелке так, что кинетический момент системы относительно оси вращения останется равным нулю.

В случае вращающейся вокруг оси механической системы кинетический момент -й точки системы относительно оси вращения равен произведению расстояния от -й точки до оси вращения на массу -й точки на скорость точки, а кинетический момент всей системы точек относительно той же оси будет равен алгебраической сумме кинетических моментов всех точек системы относительно оси вращения и таким образом равен моменту инерции системы относительно оси вращения, умноженному на угловую скорость системы: .

Если вращающаяся механическая система изменяема, то в результате действия внутренних сил некоторые точки этой системы могут удаляться от оси вращения, что обуславливает увеличение момента инерции системы, или эти точки могут приближаться к оси вращения, что вызывает уменьшение момента инерции системы относительно оси вращения. Если при этом главный момент всех действующих на вращающуюся систему внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то если момент инерции вращающейся вокруг оси системы возрастает, то угловая скорость системы убывает, и наоборот, так как кинетический момент системы относительно оси вращения не должен изменяться. Этот случай выполнения закона сохранения кинетического момента системы может быть продемонстрирован с помощью человека, стоящего на платформе, способной с малым трением вращаться вокруг вертикальной оси.

Человек встал на платформу и поднял руки в вертикальной плоскости до горизонтального положения, после чего наблюдатель, стоящий около этой платформы, придал человеку вместе с платформой вращение вокруг оси. Тогда вся механическая система – человек и платформа – получит относительно оси вращения кинетический момент, который в дальнейшем, после того как наблюдатель перестал вращать человека вместе с платформой, не изменяется. Никакие внешние силы на механическую систему действовать не будут, кроме сил тяжести и нормальных реакций, моменты которых относительно оси вращения равны нулю (моментами сил трения вследствие их незначительности в первом приближении можно пренебречь). Если затем человек прижмет руки к туловищу, то вследствие уменьшения момента инерции относительно оси вращения угловая скорость вращения системы увеличится соответственно их постоянному произведению.

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.

Значения , , для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси равны , , . При этом , , представляют сбой одновременно проекции вектора кинетического момента системы относительно точки на координатные оси. В общем случае вектор не направлен по оси вращения , но если ось будет для точки главной осью инерции тела (в частности, осью симметрии), то центробежные моменты инерции . При этом и вектор направлен вдоль оси вращения, а численно равен .

Кинетический момент системы относительно какого-нибудь неподвижного центра равен геометрической сумме кинетического момента центра масс системы относительно неподвижного центра в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетического момента системы (взятого относительно центра масс) в ее движении относительно подвижных осей координат, имеющих свое начало в центре масс системы и движущихся поступательно вместе с центром масс по отношению к неподвижным осям координат. При движении системы относительно подвижных осей координат, имеющих свое начало в центре масс системы и движущихся поступательно вместе с центром масс по отношению к неподвижным осям координат, теорема об изменении кинетического момента формулируется совершенно так же, как и для неподвижных осей координат, имеющих свое начало в неподвижном центре масс: производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно центра масс равна главному моменту всех внешних сил, действующих на систему, относительно центра масс. Если главный момент всех действующих на систему внешних сил относительно движущегося центра масс равен нулю, то кинетический момент системы, вычисленный относительно движущегося центра масс, остается постоянным по модулю и направлению. При этом если в начальный момент движения все точки системы находятся в состоянии покоя относительно центра масс, то кинетический момент системы, вычисленный относительно центра масс, в начальный момент равен нулю, следовательно, он остается равным нулю и во все время движения.

Кинетическая энергия (скалярная величина и притом существенно положительная) материальной точки измеряется половиной произведения массы точки на квадрат ее скорости: . В отличие от вектора количества движения материальной точки кинетическая энергия является скалярной мерой механического движения материальной точки. Вектор количества движения материальной точки является лишь мерой переданного одной точкой другой механического движения; кинетическая же энергия материальной точки является более универсальной мерой механического движения точки, характеризующей его способность превращаться в эквивалентное количество другой формы движения. Величина, равная скалярному произведению силы, действующей на материальную точку, на дифференциал радиуса-вектора точки приложения этой силы называется элементарной работой силы, приложенной к материальной точке: (не путать с работой силы на возможном перемещении точки, также обозначаемой , но равной ). Дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действующей на эту точку. Величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор скорости движения точки приложения этой силы, называется мощностью силы . Производная по времени (скорость изменения) от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, действующей на эту материальную точку, т.е. равна скалярному произведению силы на скорость движения точки приложения этой силы: . Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором конечном участке траектории от точки до точки равно работе силы, действующей на эту точку, на том же участке траектории . Элементарная работа силы (дифференциал кинетической энергии материальной точки) может быть представлена как произведение модуля элементарного перемещения точки на проекцию силы на направление этого перемещения (касательная составляющая силы): . Поэтому элементарная работа силы (дифференциал кинетической энергии точки) и полная работа (изменение кинетической энергии точки на конечном участке траектории) характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости точки приложения этой силы, т.е. характеризует действие касательной к траектории движения точки составляющей силы. Если разложить силу на взаимно перпендикулярные касательную и нормальную составляющие, то изменять модуль скорости точки приложения силы будет только касательная составляющая, сообщающая точке касательное ускорение. Нормальная же составляющая силы или изменяет направление вектора скорости (сообщает точке нормальное ускорение), или, если сила действует на несвободную материальную точку, изменяет давление этой точки на связь. На модуль вектора скорости материальной точки (точки приложения силы) нормальная составляющая силы не влияет, т.е. нормальная составляющая силы работы не совершает (не изменяет кинетическую энергию точки). Элементарная работа силы (дифференциал кинетической энергии материальной точки) равна нулю только в том случае, если вектор силы и вектор элементарного перемещения материальной точки (перемещения точки приложения силы) взаимно перпендикулярны. Если вектор силы и вектор элементарного перемещения точки составляют острый угол, то элементарная работа (дифференциал кинетической энергии) положительна, если же тупой, то отрицательна. Т.е. работа силы положительна, когда касательная составляющая силы направлена в сторону движения, т.е. когда сила ускоряет движение материальной точки по модулю; работа силы отрицательна, когда касательная составляющая силы направлена в сторону противоположную движению, т.е. когда сила замедляет движение материальной точки. Элементарная работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к материальной точке, на некотором элементарном участке траектории равна алгебраической сумме элементарных работ составляющих сил на том же участке траектории . При решении задач на вычисление работы или мощности сил часто приходится сталкиваться с понятием коэффициента полезного действия. Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы или мощности к работе или мощности движущих сил. Так как вследствие вредных сопротивлений полезная работа меньше работы движущих сил, то коэффициент полезного действия меньше единицы. Работа (изменение кинетической энергии материальной точки) приложенной к точке силы (или равнодействующей нескольких сил) на конечном участке траектории равна криволинейному интегралу от элементарной работы этой силы, взятому вдоль дуги траектории движения материальной точки от точки до точки : . Если касательная составляющая силы является известной функцией дуговой координаты точки приложения силы, то работа может быть вычислена по формуле , где и – значения дуговой координаты, соответствующие положениям и точки приложения силы. В частном случае, когда сила постоянна по модулю и направлению, а точка, к которой приложена эта сила, движется прямолинейно, работа определится по формуле , где – перемещение материальной точки от и , – угол между силой и направлением перемещения. , если ; , если ; , если . В общем случае действующая на материальную точку сила является функцией радиуса-вектора точки приложения силы, скорости этой точки и времени, поэтому для вычисления работы силы на конечном участке перемещения точки в общем случае нужно знать закон движения точки на этом участке. Не зная закона движения точки приложения силы, работу этой силы на конечном перемещении материальной точки определить нельзя. Весьма важно, поэтому выделить те силы, работу которых можно вычислить непосредственно по заданным силам и по перемещениям точек их приложения, не зная закона движения точки, на которую действуют эти силы. Такими силами могут быть только постоянные по модулю и направлению силы или силы, зависящие только от положения точки приложения этих сил, т.е. от координат материальной точки. Например, в случае силы тяжести, а также в случае силы упругости пружины, работа силы, действующей на материальную точку, не зависит ни от длины пути, ни от формы траектории точки (прямолинейная или криволинейная), а только зависит от начального и конечного положений этой точки.

Дата добавления: 2015-11-03