Разложение несинусоидальных кривых

В ряд Фурье

Рассмотрим разложение периодической несинусоидальной кри­вой в тригонометрический ряд. Явления, происходящие в линейных цепях при периоди­че­ских, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, на­пряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Эйлера-Фурье.

Как известно всякая периодическая функция f(t), удов­ле­тво­ряющая условиям Дирихле, то есть имеющая на всяком ко­нечном интервале конечное число максимумов и миниму­мов, может быть разложена в тригонометрический ряд:

(2.1)

Первый член ряда А₀ называется постоянной составляю­щей или нулевой гармоникой, второй член A_1m·sin(t+ ₁)–ос­новной синусоидой или первой гармоникой, а все остальные члены вида A_km·sin(k t+ _k) при k > 1 носят название высших гармоник; = 2 /T – основная частота (угловая); T- период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих, или, короче, гармоник, записываются и в иной форме:

(2.2)

Здесь B_km =A_km cos ψ_k; C_km =A_km sin ψ_k.

Коэффициенты A₀, B_km и C_km могут быть вычислены при по­мощи следующих интегралов:

(2.3)

Постоянная составляющая А₀ равна среднему значению функции f(t) за ее период T.

Зная коэффициенты ряда (2.2) легко перейти к формуле (2.1), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т.е. переходя к сум­мированию по k от - до +, можно ряду (2.2) придать бо­лее ком­пактный вид (где, по существу, каждая гармоника, кроме ну­левой, входит под знак суммы дважды):

(2.3, а)

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k=0, что соответствует выражению (3.3), так как A₀=C_0m/2.

Выражению (2.3, а) можно придать несколько иной вид, если воспользоваться формулами Эйлера для тригонометриче­ских функций времени:

и вместо (2.3, а) получим

(2.3, б)

где согласно (2.3)

(2.3, в)

Учитывая, что а и что сумма двух ком­плексно-сопряженных величин равна их удвоенной дейст­витель­ной части, выражение (2.3, б) можно упростить. Оно принимает вид:

(2.3, г)

Комплексная форма ряда Фурье [(2.3, б) - (2.3, г)] имеет боль­шое значение при переходе от дискретного спектра к не­прерыв­ному спектру.

Совокупность гармонических составляющих несинусо-идаль­ной периодической функции называется ее дискретным частотным спектром.

Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью A_km (спектр амплитуд) и ψ_k (спектр фаз) от частоты kω.

Рисунок 2.1 - Амплитудная (а) и фазовая (б) спектральные диаграммы некоторой периодической функции

В таблице 2.1 показаны несинусоидальные периодиче­ские функции, которые наиболее часто встречаются в элек­трических цепях и разложение их на гармоники [6].

Т а б л и ц а 2.1 – Разложение несинусоидальных сигналов на гармоники

График функции	Разложение в ряд Фурье функции f(x); x=wt
Меандр
Падающая пила
Трапеция
Двухполупериодное выпрямление
Симметричная пила
Импульсная

Дата добавления: 2015-11-03