Тема 15.2. Обход графа

Определение: Маршрут, содержащий все рёбра или все вершины графа, и обладающий определёнными свойствами называется обходом графа.

Определение: Эйлеровой цепью называется маршрут, если он содержит все дуги графа и проходит каждую дуг по одному разу.

Определение: Эйлеровым циклом называется замкнутый маршрут, если он содержит все дуги графа и проходит каждую дуг по одному разу.

Существует критерий существования эйлерова цикла в графе.

Теорема Эйлера: Связный граф имеет эйлеров цикл, тогда и только тогда когда каждая его вершина имеет чётную степень.

Задача, которая привела к появлению понятия Эйлерова цикла, широко известна в истории математики. Это так называемая задача о кёнигсбергских мостах. Расположение семи мостов в городе Кёнигсберге в начале XVIII века приведено на рисунке. Требуется обойти город, пройдя через каждый мост ровно один раз, и вернуться в исходную точку.

Можно представить описанную задачу следующим образом. Имеется связный неориентированный граф с четырьмя вершинами и семью рёбрами. Требуется выяснить, существует ли простой цикл, позволяющий обойти данный граф по маршруту, включающему в себя по одному разу каждое ребро графа.

Именно решение данной задачи привело Л. Эйлера к доказательству приведённой выше теоремы. Кстати, согласно ей, данная задача неразрешима, поскольку степени всех вершин графа нечётны.

Теорема. Для того, чтобы связный граф обладал Эйлеровой цепью, необходимо и достаточно, чтобы он имел ровно две вершины нечётной степени.

По сути дела, две последние теоремы описывают условия, при которых можно построить геометрическую фигуру «не отрывая карандаша от бумаги», одной сплошной линией. Только в первом случае начало и конец этой линии будут совпадать, а во втором случае они будут различны.

Определение: Гамильтоновой цепью называется замкнутый маршрут, если он содержит все вершины графа и через каждую проходит по одному разу.

Известен ряд достаточных условий существования гамильтонова цикла в графе. Но неизвестен критерий существования Гамильтонова цикла в графе.

Определение: Граф называется гамильтоново связным, если любые две его вершины соединены гамильтоновой цепью.

Известная задача о коммивояжёре состоит в том, чтобы найти в графе, дугам которого приписаны неотрицательные числа (веса дуг), гамильтонов цикл, имеющий наименьшую сумму весов рёбер. До сих пор неизвестен алгоритм решения этой задачи, отличный от перебора всех возможных вариантов. Равно как не доказана невозможность существования такого алгоритма.

Дата добавления: 2015-10-28