Тема 12.1. Определение предиката

Утверждения, которые можно сформулировать с помощью средств логики высказываний всегда относятся к конкретным свойствам конкретных предметов, объектов, ситуаций. Мы уже сталкивались с примерами таких утверждений: «Сегодня идёт дождь», «Вася любит Олю», «Если А – преступник, то В – не виновен», «Если цена на нефть растёт и страна продаёт нефть, то растут и доходы её бюджета» и т.п. Эти утверждения строятся из элементарных высказываний с помощью логических операций. Например, последнее из приведённых утверждений может быть формально записано как .

где , и – это переменные, обозначающие, соответственно, высказывания «цена на нефть растёт», «страна продаёт нефть» и «растут и доходы бюджета».

Для того, чтобы высказывать более общие точные утверждения о свойствах классов (множеств) объектов, предметов, ситуаций, нужен более богатый формальный язык. Им является язык логики предикатов.

Прежде, чем переходить к формальным определениям, приведём некоторые содержательные примеры используемых понятий: объектов, свойств, отношений и операций (функций).

Объекты: люди, предприятия, числа, цвета, футбольные матчи, экзамены, дома, столы, компьютеры, фигуры, студенты,...

Свойства: зелёный, тяжёлый, голубоглазый, победный, девятиэтажный, деревянный, отличник,...

Отношения: «... является братом...», «... занимает должность... с зарплатой...», «... больше чем...», «... находится внутри...», «... любит...», «... имеет цвет...», «... случится после...», «... владеет...», и т.п.

Функции: «отец...», «лучший_ друг...», «вдвое_больший_ чем...», «сумма... и...», «группа_студента...», «самый_любимый_кинофильм...»,...

В примерах отношений и функций многоточиями отмечены места, где должны стоять объекты, к которым они относятся.

Даже этих небольших перечислений достаточно, чтобы понять, что язык логики предикатов позволяет описать почти любой факт и сформулировать нужное утверждение о той или иной рассматриваемой предметной области. Вот несколько простых примеров:

«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Но говорить «логика сказуемых» – себя не уважать. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.

Пример 12.1:

Вместо трёх высказываний: «Маша любит кашу», «Даша любит кашу», «Саша любит кашу» можно написать один предикат: «Икс любит кашу» и договориться, что вместо неизвестного Икс могут быть либо Маша, либо Даша, либо Саша. Подстановка вместо Икс имени конкретного ребёнка превращает предикат в обычное высказывание.

Определение: Пусть – произвольные переменные. Эти переменные будем называть предметными. Пусть наборы переменных выбираются из множества , которое будем называть предметной областью. Предикатом местности ( - местным предикатом), определённым на предметной области , называют отображение множества во множество высказываний.

Обозначение: – - местный предикат, определённый на .

Дадим другое определение предиката.

Определение: - местный предикат – это связное повествовательное предложение, содержащее переменных и обладающее следующим свойством: при фиксации значений всех переменных о нём (предложении) можно сказать, истинно оно или ложно.

Пример 12.2:

а). = «Натуральное число делится (без остатка) на натуральное число » – двуместный предикат, определённый на множестве пар натуральных чисел .

Очевидно , .

б). – одноместный предикат, определённый на .

Ясно, что , и вообще предикат – тождественно ложен, т.е. при любом значение получим .

в). – трёхместный предикат, определённый на .

,

Определение: Пусть – -местный предикат, определённый на . – множество ложности предиката . (т.е. множество ложности предиката – это множество тех , при которых значение истинности предиката равно нулю).

– множество истинности предиката . (т.е. множество истинности – это множество тех , при которых значение истинности предиката равно 1).

Определение: Предикат , определённый на , называется тождественно истинным, если его значение истинности равно единице при всех возможных значениях (или, коротко, ); тождественно ложным, если его значение истинности равно нулю при всех возможных значениях (или, коротко, ); нетривиально выполнимым, если его значения истинности могут быть равными как единице, так и нулю (или, коротко, ; .

Пример 12.3:

Изобразим в предикат

Поверхность и внутренность изображенного параболоида вращения – множество истинности предиката (т.к. значения ; внешность параболоида – множество ложности (т.к. .

Дата добавления: 2015-10-28