Приклади розрахунків

Випадок 1. Консольну балку навантажено зосередженою силою Р на кінці консолі (рисунок 2.6 а).

Рисунок 2.6 - Схема і епюра навантаги консольної балки під дією кінцевої зосередженої сили

У місці жорсткого закріпу А балки виникає реактивний момент M_R і опорна реакція R_A.

Складемо рівняння рівноваги сил, що діють на балку:

;

.

Звідси:

;

.

Визначимо момент у гнучому перерізі і епюри, що розташовані на відстані х від опори А. Сили, що діють зліва від даного перерізу, створюють момент:

.

Після підстановки значень реактивного моменту і опорної реакції приходимо до наступного рівняння:

.

При х = 0 і х = отримуємо гнучий момент відповідно у епюри А і на кінці балки:

;

.

Побудуємо епюру гнучих моментів. Для цього вибираємо нульову лінію, паралельну до осі балки.

Відкладаючи в деякому масштабі m від цієї лінії вниз (М_х < 0) під відповідними перерізами балки знайдені значення М_х , отримуємо шукану епюру (рисунок 2.6, б). Оскільки залежність М_х від координати перерізу в даному випадку є лінійною, то епюра гнучих моментів є похилою прямою. Абсолютна величина гнучого моменту досягає найбільшого значення у закріпленого кінця балки.

Побудуємо епюру гнучих моментів. Для цього вибираємо нульову лінію, паралельну до осі балки.

Розглянуту задачу можна вирішити простіше, якщо за початок відліку координати перерізу прийняти точку заломлення сили Р і визначати головний момент сил, що знаходяться праворуч від перерізу. Позначивши нову координату через х₁, маємо

,

а на кінцях балки отримуємо:

;

Для визначення поперечних сил звернемося до теореми Журавського:

,

тобто поперечна сила постійна по всій довжині балки. Епюра поперечних сил в даному випадку є прямою, паралельною до нульової лінії і віддалену від неї на відстані Р (рисунок 2.6, в) в масштабі m_Q.

Випадок 2. Консольна балка навантажена по всій довжині рівномірно розподіленим навантаженням з інтенсивністю q (рисунок 2.7,а).

Рисунок 2.7 - Схема і епюра обтяжування консольної балки з рівномірно розподіленою навантагою

Реактивний момент у цьому випадку становить

,

опорна реакція:

.

Замінивши рівномірно розподілене навантаження, що діє на праву частину балки, зосередженою силою, що дорівнює q× x і діє на відстані 0,5х від вибраного перерізу, маємо:

.

Визначимо значення гнучих моментів для характерних точок:

х = 0; М₀ = 0;

; ;

х = ; .

Як видно з рівняння для М_Х епюра гнучих моментів у даному випадку є параболою другого ступеня, що обернена угнутістю вниз, має вершину на початку координат (рисунок 2.7,б). Цю параболу можна побудувати за точками.

Абсолютна величина гнучого моменту має найбільше значення

у затисненого кінця балки. На підставі теореми Журавського:

;

отже

= 0;

.

З рівняння для витікає, що епюра поперечних сил є похилою прямою (рисунок 2.7, в).

Випадок 3. Балка на двох опорах обтяжена зосередженою силою Р (рисунок 2.8, а).

Рівняння рівноваги балки має вигляд:

;

.

Рисунок 2.8 - Схема і епюра обтяжування двохопорної балки зосередженою силою

Звідси:

,

.

Розглянемо два перерізи, що визначені координатами х₁ і х₂. Перший переріз розташований між опорою А і точкою прикладення сили Р, друге, – між опорою В і точкою прикладення сили Р.

Гнучий момент у перерізі I–I, якщо розглядати ліву частину балки, буде мати вигляд:

.

Гнучий момент у перерізі II–II буде мати вигляд:

,

тобто гнучий момент на двох ділянках балки визначається двома лінійними рівняннями і, отже, епюра гнучих моментів складається з двох відрізків похилої прямої (рисунок 2.8,б).

Величина гнучих моментів у характерних точках:

; ;

; ;

; .

Якщо сила Р прикладена в середині прольоту, тобто

а = в = /2,

то

,

а максимальний гнучий момент у цьому випадку буде мати вираз:

.

Оскільки гнучий момент характеризується двома лінійними функціями, то з теореми Журавського виходить, що на кожній з двох ділянок між опорами і точкою прикладення зосередженої сили Р поперечна сила залишається постійною.

Дійсно, для ділянки АС:

;

для ділянки СВ:

.

Таким чином, епюра поперечних сил зображується двома прямолінійними відрізками, паралельними до нульової лінії (рисунок 2.8, в). При цьому у точці прикладення навантаги Р поперечна сила змінює скапчкоподібно знак.

Випадок 4. Балка на двох опорах обтяжена рівномірно розподіленою навантагою інтенсивністю q (рисунок 2.9, а).

Рівнодіюча рівномірно розподіленої навантаги дорівнює q і прикладена в середині прольоту балки, тому:

.

Гнучий момент у перерізі I - I на відстані х від лівої опори визначається з виразу:

.

Рисунок 2.9 - Схема и епюра обтяжування двохопорної балки рівномірно розподіленою навантагою

Гнучий момент у характерних точках:

;

;

.

Отже, епюра гнучих моментів є парабола другого ступеня (рисунок 2.9, б).

Величину поперечної сили в перерізі I–I визначають як суму зовнішніх сил, що діють зліва від перерізу за виразом:

,

тобто поперечна сила змінюється за лінійним законом. Визначимо її величину в характерних точках:

;

;

.

Таким чином, епюра поперечних сил є похила пряма, що перетинає нульову лінію в середині прольоту балки (рисунок 2.9, в).

Випадок 5. Балка на двох опорах обтяжена в перерізі С зосередженим моментом М (рисунок 2.10, а).

Рисунок 2.10 - Балка на двох опорах обтяжена

в перерізі С зосередженим моментом М

Для даного випадку маємо:

.

Гнучи моменти для перерізів I–I і II–II, віддалених відповідно на відстані х₁ і х₂ від опор А і В, дорівнюють:

;

,

тобто на ділянках АС і СВ гнучий момент виражається лінійними функціями координати перерізу.

У характерних точках маємо:

,

.

Для перерізу С отримуємо два результати (рисунок 2.10, б):

,

,

тобто в перерізі С гнучий момент змінюється скачкоподібно.

Епюра гнучих моментів представлена двома прямолінійними відрізками, що утворюють з нульовою лінією однаковий кут (рисунок 2.10, б).

Поперечна сила за всією довжиною балки однакова:

.

Епюра поперечних сил – пряма, паралельна до нульовій лінії (рисунок 2.10,в).

Випадок 6. Балка на двох опорах з рівними за довжиною консолями, обтяжена на кінцях рівними зосередженими силами Р (рисунок 2.11,а). Причому: .

Оскільки при зосереджених силах (навантагах) гнучий момент на різних ділянках балки виражається у вигляді лінійних функцій від координати перерізу, то епюра гнучих моментів представлена відрізком прямої і для її побудови досить визначити гнучи моменти в характерних перерізах балки:

;

;

; .

Рисунок 2.11 Балка на двох опорах з рівними за довжинами консолями, обтяжена на кінцях рівними зосередженими силами

При цьому епюра гнучих моментів буде такою, як це показано на рисунку 2.11, б, тобто в даному випадку це рівнобедрена трапеція.

Поперечні сили можуть бути отримані за допомогою теореми Журавського. Тоді на консолях поперечні сили будуть мати наступний вираз:

;

Оскільки гнучий момент між опорами А і В зберігає постійне значення, то поперечна сила тут , а епюра буде такою, якою вона представлена на рисунку 3.11, в (випадок чистого гнуття).

Випадок 7. Балка на двох опорах обтяжена двома зосередженими силами, направленими в протилежні боки (рисунок 2.12,а).

Опорні реакції:

;

.

Рисунок 2.12-Балка на двох опорах обтяжена двома зосередженими силами, направленими в протилежні боки

Залежно від величини сил і а також розмірів а і b напрям опорних реакцій може відрізнятися від зазначеного на рисунку 2.12, а.

Гнучи моменти в характерних перерізах балки при вказаному напрямі опорних реакцій визначаються з виразів:

;

;

;

.

Зважаючи на лінійну залежність гнучого моменту від абсциси перерізу, будуємо епюру гнучих моментів. У вибраному масштабі m_м відкладаємо ординати, значення яких визначені в характерних перерізах гнучого моменту і кінці їх сполучаємо відрізками прямої (рисунок 2.12, б).

Проекцюючи на вертикальну вісь опорні реакції і задані сили, отримаємо поперечну силу для різних ділянок балки:

;

;

.

Епюра поперечних сил складається з відрізків прямої, паралельної до горизонтальної осі (рисунок 2.12, в).

Випадок 8. Балка на двох опорах з консоллю обтяжена в кінцевому перерізі дією зосередженого моменту М (рисунок 2.13, а).

Рисунок 2.13 - Балка на двох опорах з консоллю обтяжена в кінцевому перерізі дією зосередженого моменту М

Опорні реакції М в даному випадку рівні за модулем, але направлені в протилежні боки:

.

Гнучий момент у характерних перерізах із врахуванням правил знаків:

;

.

Отже, на всьому протязі консолі гнучий момент зберігає постійне значення, що дорівнює М. Епюра гнучих моментів наведена на рисунку 2.13,б. Упродовж прольоту АВ поперечна сила (рисунок 2.13,в) дорівнює величині:

.

На консолі:

,

тут має місце чисте гнуття.

Дата добавления: 2015-10-24