Теоретические сведения. Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во вре­мени по

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во вре­мени по синусоидальному закону:

,

где - максимальное значение или амплитуда тока;

- угловая частота

- полная фаза колебания;

- начальная фаза.

Угловая частота , частота и период T связаны соотношением:

.

Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угло­вой ско­ростью вектора на вертикальную ось изменяется во времени по синусои­дальному закону. Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, ЭДС) может быть изображена вектором.

При проведении расчета очень удобным оказывается рассмотрение вра­щающегося вектора на комплексной плоскости. В этом случае вектор можно представить как комплексную амплитуду тока , а сам синусои­дально изме­няющийся ток I – как мнимую часть произведения комплексной амплитуды на :

.

Тогда при t =0 можно записать:

.

На практике широкое распространение получил символический метод рас­чета цепей синусоидального тока.

Сущность данного метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от дифференциальных уравнений, составленных для мгно­венных значений, к алгебраическим, составленным относительно комплексов амплитуд­ных значений тока , напряжения , и ЭДС либо их действую­щих значений , и . Например, если

,

то комплексное действующее значение напряжения

,

где .

Рисунок 2.1 – Схема цепи с реактивными элементами.

Аналогично осуществляется запись комплексов действующих значений ве­личин ЭДС и тока. Например, для схемы (рис. 2.1) уравнение для мгновен­ных зна­чений напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа, запи­шется сле­дующим образом:

, или .

Переходя к комплексным действующим значениям напряжений, полу­чим:

,

где R – активное сопротивление цепи,

- комплексное индуктивное сопротивление цепи,

- комплексное емкостное сопротивление цепи.

Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивности L опережает вектор тока на . Множитель свидетельствует о том, что вектор напряжения на емко­сти С отстает от вектора тока на . На активном сопротивлении R векторы напря­жения и тока совпадают по направлению.

Величина называется ком­плексным сопротивлением цепи (рис. 2.1), а - ее ком­плексной прово­димостью, где G и B – активная и реактивная составляющие проводимости цепи.

Комплексные числа записываются в одной из следующих форм:

алгебраическая - ;

показательная - ;

тригонометрическая - ;

полярная - .

Геометрически любому комплексному числу можно сопоставить в соответ­ствие точку комплексной плоскости с координатами x=a, y=jb или радиус-вектор длиной A единиц, проведенный из начала координат в точку A и расположенный под углом a к оси абсцисс. Из рисунка очевидны формулы пере­хода из одной формы записи комплексного числа к другой:

Алгебраическая форма применяется при сложении и вычитании ком­плекс­ных чисел, а показательная – при умножении, делении, возведении в степень и из­влечении корня. Умножении числа на мнимую единицу сво­дится к повороту вектора на угол 90⁰ против часовой стрелки, умножение на - к повороту на угол 90⁰ по часовой стрелке, а умножение на –I соот­ветствует повороту на .

Полное комплексное сопротивление цепи и ее участ­ков (R, L и С) геомет­рически связаны треугольником сопротивлений:

а) если , то

б) если , то , где

Расчет электрической цепи в комплексной форме требует записи од­ного и того же комплексного числа в алгебраической и показательной фор­мах.

Рассмотрим несколько примеров.

Дата добавления: 2015-10-24