Расчеты и графическое построение АФЧХ типовых динамических звеньев в комплексной плоскости

Формула для расчета АФЧХ типовых динамических звеньев имеет два варианта записи:

1) W (ј ω)= A (ω) e^{ј φ(ω)} – показательная форма записи;

2) W (ј ω)= P (ω)+ јQ (ω) – комплексная форма записи.

Первому варианту соответствует построение векторов в комплексной плоскости для различных значений частоты входного сигнала и соединение их концов плавной линией, которая и представляет собой графическое изображение АФЧХ. Для этого при каждом значении частоты ω рассчитывается величина

и строится вектор в комплексной плоскости. Его длина в выбранном масштабе соответствует отношению амплитуд A (ω) выходного A ₂(ω) и входного A ₁(ω) сигналов исследуемого звена, а угол поворота вектора относительно оси абсцисс – углу сдвига фаз φ(ω) между этими сигналами (рис. 1).

Рис. 1.

При изменении частоты ω амплитуда и фаза векторов W (јω) будет изменяться, а годограф (геометрическое место концов векторов) будет описывать в комплексной плоскости кривую, представляющую собой АФЧХ (рис. 2).

Рис. 2.

Во втором варианте построение АФЧХ выполняется по проекциям векторов на оси прямоугольной системы координат комплексной плоскости при различных значениях частоты входного сигнала. Для этого в выражении W (ј ω)выделяются вещественная и мнимая части:

W (ј ω)= P (ω)+ јQ (ω),

где P (ω) – вещественная частотная характеристика (ВЧХ) исследуемого звена; Q (ω) – его мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Соотношения между частотными характеристиками и соответствующими им формами записи выражения для АФЧХ определяются следующим образом:

А(ω) = ;

P (ω) = A (ω)cos(ω); Q (ω) = A (ω)sin(ω).

Оба варианта построения дают одинаковое изображение АФЧХ.

Рассмотрим эти варианты на примере апериодического звена.

1. При расчете АФЧХ по формуле W (ј ω)= A (ω) e^{ј φ(ω)} используем результаты выполнения задания № 3, где было показано, что для апериодического звена

; φ(ω) = – arctg T ω.

Подставляя в эти выражения k ₁= 3; T ₁ = 0,1с, выполним расчеты для ряда значений частоты ω и на основании полученных результатов составим таблицу 1.

Таблица 1

ω, с^-1											∞
A (ω)		2,99	2,94	2,88	2,68	2,13	1,34	0,59	0,29	0,001
φ(ω), рад		-0,1	-0,2	-0,29	-0,46	-0,79	-1,1	-1,37	-1,47	-1,56	-1,57
φ(ω), град		-6	-11	-16	-26	-45	-63	-78	-84	-89	-90

2. При расчете АФЧХ по формуле W (ј ω)= P (ω)+ јQ (ω) используем результаты выполнения задания № 2, где было показано, что для апериодического звена

Подставляя в эти выражения k ₁= 3; T ₁ = 0,1с, выполним расчеты для ряда значений частоты ω и на основании полученных результатов составим таблицу 2.

Таблица 2

ω, с^-1											∞
P (ω)		2,99	2,88	2,75	2,4	1,5	0,6	0,12	0,03	0,001
Q (ω)		-0,29	-0,58	-0,83	-1,2	-1,5	-1,2	-0,6	-0,3	-0,001

После выполнения расчетов по данным любой из таблиц строится график АФЧХ в комплексной плоскости, вид которого показан на рис. 3.

Рис. 3.

Примечания.

1. При выполнении пункта 1 задания № 6 результаты расчетов оформляются в виде таблицы 1.

2. При выполнении пункта 2 задания № 6 результаты расчетов оформляются в виде таблицы 2.

3. При построении графиков АФЧХ в комплексной плоскости по результатам расчетов, выполненных в п.1 и п.2, каждый из графиков строится в отдельной системе координат.

4. При построении каждого из графиков вещественная и мнимая оси комплексной плоскости должны иметь одинаковые масштабы, указанные на графике.

Дата добавления: 2015-10-24