Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Минимизация полученных функций по методу Квайна

Читайте также:
  1. III.Характеристика обобщенных трудовых функций
  2. А) Сравнение бесконечно малых функций
  3. Абсолютный экстремум функций нескольких переменных
  4. АНАТОМО-ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ САМОРЕГУЛЯЦИИ ФУНКЦИЙ ОРГАНИЗМА
  5. В чем заключается специфическая особенность психических функций?
  6. В) Особенности основных психологических функций в интровертной установке.
  7. В) Особенности основных психологических функций в экстравертной установке.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

 

Самостоятельная работа

по дисциплине «Теория дискретных устройств автоматики и телемеханики»

 

Студент гр. 40-В

А.Ю.Сахарчук

 

Руководитель –

А.В.Мальцева

 

Омск 2012


Задание. Провести анализ комбинационной схемы, минимизировать логическую схему и синтезировать устройство в заданных базисах логических элементов.

Исходная схема и данные:

Вариант 48.

 

 

Рис.1. Исходная схема для всех вариантов

№ варианта DD1 DD2 DD3 DD4 DD5 DD6 DD7 DD8
  НЕ НЕ И-НЕ ИЛИ-НЕ ИЛИ ИЛИ И И-НЕ

 

 

Данные из таблицы вариантов:

 

 

Анализ исходных данных:

Элементы схемы DD1 и DD2 – инверторы.

Функции других элементов указаны в таблице.

Итак, заданная схема представлена на рис. 2.

 

 

 

 

Рис.2. Исходная схема для 48 варианта

 

Решение.

1. Определение функций на выходах всех микросхем без преобразований.

Для наглядности составим таблицу.

Таблица 1

Таблица выходов логических элементов

 

Логическая схема   Вход   Функция  
DD1 b f1 =`b
DD2 d f2 =`d
DD3 a, f1 f3 =
DD4 c, f2 f4 =
DD5 b, f2 f5 =
DD6 f3, f4 f6 =
DD7 f3, f5 f7=
DD8 f6, f7 f8=

 

Теперь необходимо получить зависимости выходов комбинационно­го устройства от его входов.

2. Составление таблицы истинности

Таблица истинности или состояния составляется для четырех переменных a, b, c и d.

 

Таблица 2

Таблица истинности для 4 переменных

Переменные Функции выходов элементов схемы
a b c d f1=`b f2=`d f3 f4 f5 f6 f7 f8=Z
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       
                       

 

 

3. После составления таблицы истинности целесообразно перейти к совершенной дизъюнктивной нормальной фор­ме (СДНФ) и к совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

Запись функции Z в СДНФ:

 

Z =`a`b`c d Ú`a`b c d Ú a`b`c`d Ú a`b`c`d Ú a`b`c d Ú a`b c`d Ú a`b c d. (1)

Слагаемые функции (конъюнкции) представляют собой минтермы четвертого ранга. Сравниваем их между собой (проводим склеивание и поглощение) и образуем минтермы третьего ранга.

 

В результате сравнения первого и второго слагаемых получим `a`b`d, первого и четвертого –`b`c`d, второго и третьего –`a`b c, второго и пятого –`b c`d,

третьего и шестого –`b c d, пятого и шестого – a`b c, четвертого и пятого – a`b`d и шестого и седьмого – a c d.

Проводя функции склеивания с минтермами третьего ранга, получим минтермы второго ранга:

`a`b d Ú a`b d =`b d; a`b`c Ú a`b c = a`b;

`b`c d Ú`b c d =`b d; a`b`d Ú a`b d = a`b.

Таким образом, получаем функцию

Z=`b d Ú a`b Ú`b d Ú a`b = a`b Ú`b d. (2)

Запись функции Z в СКНФ.

Из таблицы 1выбираем функции Z, равные 0:

Z = (a Ú b Ú с Ú d) (a Ú b Ú`с Ú d) (a Ú`b Ú с Ú d) (a Ú`b Ú с Ú`d) &

(a Ú`b Ú`с Ú d) (a Ú`b Ú`с Ú`d) (`a Ú`b Ú с Ú d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) &

& (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d). (3)

Полученное выражение лучше решить аналитическим способом, перемножая последовательно содержимое первой пары скобок на содержимое второй, затем результат перемножается с содержимым третьей пары скобок и т.д.

Z = (a Ú a b Ú a c Ú a d Ú a b Ú b Ú b с Ú b d Ú a`c Ú b`c Ú 0 Ú`c d Ú a d Ú b d Ú с d Ú Ú d) (a Ú`b Ú с Ú d) (a Ú`b Ú с Ú`d) (a Ú`b Ú`с Ú d) (a Ú`b Ú`с Ú`d) (`a Ú`b Ú с Ú d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (a Ú a b Ú a d Ú a`b Ú a`b d Ú a c Ú b c Ú c d Ú a d Ú b d Ú d) (a Ú`b Ú с Ú`d) (a Ú`b Ú`с Ú d) (a Ú`b Ú`с Ú`d) (`a Ú`b Ú с Ú d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (a Ú a b c Ú a d Ú a`b Ú 0 Ú`b d Ú a c Ú b c Ú c d Ú a`d Ú b c`d Ú 0) (a Ú`b Ú`с Ú d) (a Ú`b Ú`с Ú`d) (`a Ú`b Ú с Ú d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (a Ú a`b d Ú a b c Ú a c d Ú a b c`d Ú a`b Ú`b d Ú 0 Ú`b c d Ú 0 Ú a`c Ú`b`c d Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú a d Ú`b d Ú b c d Ú c d Ú 0) (a Ú`b Ú`с Ú`d) (`a Ú`b Ú с Ú d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (a Ú a`b d Ú a`b c d Ú a`b`c d Ú a b c d Ú a c d Ú a`b Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú 0

Ú`b c d Ú a`c Ú`b`c d Ú 0 Ú b`c d Ú0 Ú a`b Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0) (`a Ú`b Ú с Ú d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (0 Ú`a`b d Ú`a`b c d Ú`a`b`c d Ú a`b Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú a c Ú`b c d Ú`b c d Ú 0 Ú a d Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d) (`a Ú`b Ú с Ú`d) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (`a`b d Ú`a`b c d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú`a`b d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú 0 Ú`a`b d Ú`a`b c d Ú`a`b`c d Ú a`b Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú a`b c Ú a`b d Ú`a`b c d Ú`a`b c d Ú 0 Ú a`b c Ú`b c d Ú`b c d Ú 0 Ú a c Ú a c d Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú a`b`d Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú a`b c Ú 0) (`a Ú`b Ú`с Ú d) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (`a`b d Ú`a`b c d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú`a`b d Ú Ú`a`b c d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú`a`b d Ú

` a`b c d Ú`a`b`c d Ú a`b Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú a`b c Ú a`b d Ú a`b c Ú a`b c d Ú a`b`d Ú a`b c`d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú`a`b`c d Ú a`b`c Ú`b`c d Ú 0 Ú`b`c d Ú 0 Ú a`b`c d Ú 0 Ú 0 Ú a`b`c`d Ú 0 Ú`a`b d Ú`a`b c d Ú`a`b c d Ú a`b d Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú

a`b c d Ú a`b d Ú a c d Ú a c d Ú 0 Ú 0) (`a Ú`b Ú`с Ú`d) = (`a`b d Ú`a `b c d Ú`a `b `c d Ú 0 Ú `a`b d Ú`a `b c d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú `a`b d

Ú`a`b c d Ú`a `b`c d Ú a`b Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú a`b c Ú a`b d Ú a`b c d Ú a`b`d Ú a`b c`d Ú a`b`c Ú a`b`c d Ú a`b`c`d Ú a`b c d Ú`a`b`c d Ú 0 Ú`a`b`c d Ú a`b c Ú

`b`c d Ú`b c d Ú`b`c d Ú 0 Ú a`b`c d Ú 0 Ú a`b`c`d Ú 0 Ú a`b c Ú a`b`c d Ú a`b`c`d Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú 0 Ú a`b`d Ú 0Ú 0 Ú a`b c`d Ú 0 Ú 0 Ú a`b`d Ú a`b c`d Ú a`b`c`d Ú 0 Ú a`b`c`d Ú 0) = a`b`d Ú`a`b c d Ú`a`b`c d Ú a`b Ú`b d Ú`b c d Ú`b`c d Ú a`b c Ú

`a`b d Ú a`b c d Ú a`b`d Ú a`b c`d Ú a`b`c Ú a`b`c d Ú a`b`c`d = a`b Ú`b d (4)

Функции (2) и (4) совпадают.

Чтобы сделать заключение о правильности выполненных преобразований, необходимо сделать проверку полученного результата, используя схемный вариант, а также выполнить минимизацию с помощью таблиц Карно и методом Квайна.

 

4. Проверка полученного результата.

Вернемся к функции Z или f8, полученной в результате анализа заданной схемы и внесенной в таблицу 1. Перейдем от сложных функций к простым и раскроем скобки. Пользуясь законами и тождествами алгебры логики, получим

Z = f8 = ; f6 = f3 & f4; f3 = a Ú f1; f1 =`b; f4 = ; f2 =`d,

f3 = a Ú`b, f4 = .

Запишем структурную формулу для f6:

f6 = f3 & f4 = (a Ú`b) .

Не преобразовывая это выражение, находим функцию f7:

Из табл. 1, f7= . Функция f3 определена выше, раскрываем функцию f5.

f5 = = . Подставляем полученные выражения в формулу для определения f7.

f7= = .

f6 и f7 определены, теперь получаем выражение для Z или f8.

Z = f8 = .

Проводим преобразования полученной функции, используя основные положения алгебры логики, т.е. сложную функцию приводим к простой:

1 шаг – применяем формулу де Моргана для дизъюнкции:

Z = f8 = & ;

2 шаг– применяем формулу де Моргана для конъюнкции:

Z = f8 = ;

3 шаг– вновь применяем формулу де Моргана для дизъюнкции:

Z = f8 = ; (–опять проблема с редактором формул!)

4 шаг – выполняем действия со скобками поочередно

Z= =`a b Ú(a c Ú a`d Ú `b c Ú`b`d)(d Ú`b) =`a b Ú (a c dÚ Úa`d d Ú`b c d Ú`b`d d Ú a c`b Ú a`b`d Ú`b`b cÚ`b`b`d) =`a bÚ a c dÚ`b cÚ`b`d. (5)

Сокращенная форма после проведения операций скле­ивания и поглощения хотя и содержит только простые импликанты, но может иметь лишние члены, которые можно исключить, не изменяя значение функции.


5. Определение минимальной формы с помощью Карт Карно

Строим таблицу для четырех переменных и анализируем функцию (1)

ab   cd        
a b a`b `a`b `a b
  c d     1    
  c`d        
  `c`d        
  `c d        

Столбцы и строки карты Карно обозначаются в коде Грея. Тогда клетки, которые могут склеиваться, находятся рядом друг с другом.

В результате операций склеивания получим, В результате операции склеивания

Z=`b c Ú`b`d Ú a c d (5)

Слагаемые или простые импликанты выражения (5) входят как в формулу (2), так и в (4). Это говорит о том, что в результате аналитических преобразований были получены сокращенные, но не минимальные формы записи функции.

Минимизация полученных функций по методу Квайна

 

Члены сокращенной формы (2, 4) являются просты­ми импликантами.

Пере­ход от сокращенной формы к минимальной осуществля­ется с помощью импликантных таблиц.

В импликантной таблице ставятся отметки. Если про­стая импликанта является составной частью какой-либо конституенты единицы, то на пересечении строки и столбца ставится условный знак.

Выполняем проверку как для выражения (2), так и (4)

 

 

Импликантная таблица

Таблица 3

Простые импликанты (5) Конституенты
`а`b`c`d `а`b c`d `a`b c d a`b`c`d a`b c`d a`b c d a b c d
`b`d * *   * *    
`а b              
`b c   * *   * *  
a c d           * *

Анализируем полученный результат:

импликанты`b`d, `b c и a c d являются существенными: `b`d единственная, входящая в состав конституенты`a`b`c`d, `b c – в состав `a`b c d, a c d – единственная в столбце c конституентой аbcd. Эти три простые импликанты «закрывают» все столбцы. `а b не входит ни в одну конституенту, не является существенной и может быть исключена из дальнейшего рассмотрения.

Таким образом, в выражении (5) следует исключить это слагаемое:

Z =`b`d Ú`а b Ú`b c Ú a c d. Z =`b`d Ú`b d Ú a c d. (6)

 

7. Построение функциональной схемы устройства по полу­ченной минимальной ДНФ (сравнить с рис. 2).

Для построения удобно воспользоваться вертикальными шинкам a,b,c,d и формировать функциональные элементы в соответствии с выражением (6).

Рис.3. Реализация функции Z в базисе И-ИЛИ-НЕ

8. Запись функции (6) в базисах И-НЕ и ИЛИ-НЕ

8.1. Запись функции Z в базисе И-НЕ

Z =`b`d Ú`b с Ú a c d. Применяем двойное отрицание:

. (7)

Схемная реализация функции в базисе 2И-НЕ, рис.4

8.2. Запись функции Z в базисе ИЛИ-НЕ

Z =`b`d Ú`b с Ú a c d. Двойное отрицание каждого слагаемого и двойное отрицание полученного выражения

. (8)

Схемная реализация функции в базисе 2ИЛИ-НЕ показана на рис.5.

Рис. 4. Реализация функции (7) в базисе 2И-НЕ

 

Рис.5. Реализация функции (8) в базисе ИЛИ-НЕ

 

9. Моделирование в среде Electronics Workbench.

После запуска программы Multisim на рабочем поле собрать схему, соответствующую реализации функции в базисе И-НЕ, рис.4.(или другую по заданию преподавателя).Подавая с помощью ключей A, B, C, D значения логических переменных 0 или 1 на входы схемы убедиться в соответствии ее таблице истинности. Для проверки правильности работы схемы лучше подключить ко всем выходам элементов схем логический анализатор, рис.6.


 

 

Рис.6. Моделирование схемы, полученной в базисе И-НЕ

Проверку соответствия таблице истинности с помощью ключей вести сложно. Лучше использовать генератор слов, рис.7.

 

 

Рис.7. Проверка функционирования схемы в базисе И-НЕ с применением генератора слов и логического анализатора


Вывод: В ходе проведения самостоятельной работы по исследованию логических элементов были рассчитаны и минимизированы функции алгебры логики при помощи нормальных функций (СДНФ и СКНФ), операций поглощения и склеивания, закона инверсии, при помощи карт Карно, метода Квайна. Во всех случаях получили одинаковые результаты.

Полученная функция была реализована на элементах И-НЕ, ИЛИ-НЕ, в релейно-контактном исполнении, а также смоделирована на цифровых интегральных микросхемах ТТЛ серии К155 в программной среде Electronics Workbench.

 

 


Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 95 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Принцип полярностей за К.Юнгом. Генезис неврозу.| Шамбхава-упайя

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.029 сек.)