Ковальчук Василь

Реферативне повідомлення

на тему:

«Афінні перетворення»

Підготував:

Студент ФМІ

Групи МЕІ-51

Ковальчук Василь

Рівне 2012

Перетворення площини називається афінним, якщо воно довільні три точки які лежать на одній прямій переводить в точки , які належать одній прямій і зберігає їх просте відношення, тобто ()=()

Очевидно, що будь-яке перетворення подібності і будь-який рух являються афінними перетвореннями (оскільки вони зберігають просте відношення трьох точок).

Лема. Якщо афінні перетворення і переводять дві точки А і В відповідно в точки і , то , де М довільна точка прямої АВ.

Доведення.

Нехай М – довільна точка прямої АВ, відмінна від А і В, а .

Так як і – афінні перетворення, то і , тому і співпадають, тобто .

Теорема. Нехай R=(A,B,C) і – довільні репери площини. Тоді існує єдине афінне перетворення f, яке переводить репер R в . При цьому будь-яка точка М з даними координатами в репері R переходить в точку з тими ж координатами в репері .

Доведення.

Покажемо спочатку, що таке афінне перетворення існує. Поставимо у відповідність довільній точці М з координатами х,у в репері R точку з такими ж координатами в репері : . Відображення буде взаємно-однозначним відображенням площини на себе, яке переводить R в .

Покажемо що – афінне перетворення.

Нехай – три довільні точки однієї прямої, які в репері R мають координати: , .

Їх образи в репері мають такі ж координати: , .

Отже, , оскільки в обох випадках ми маємо одні і ті ж формули ділення відрізка у відношенні :

, . Тому f – афінне перетворення.

Доведемо єдиність перетворення f. Припустимо, що f₁ - ще одне афінне перетворення, яке задовольняє умову теореми. Нехай М – довільна точка площини, а її образ при перетвореннях f і f₁.

Через точку М проведемо пряму так, щоб вона перетинала будь-які дві із прямих АВ, ВС або АС в різних точках N і Р (рис.1)

Згідно леми , отже, і співпадають.

Тому – єдине афінне перетворення, яке задовольняє умови теореми.

Наслідок. Якщо точки , які не належать одній прямій, являють собою нерухомі точки афінного перетворення , то – тотожне перетворення.

Очевидно (як і для рухів), що будь-яке афінне перетворення або зберігає, або змінює орієнтацію площини (репери R і однаково або протилежно орієнтовані). Отримаємо афінні перетворення 1-го і 2-го роду.

Дата добавления: 2015-10-24