Читайте также:
|
|
Реферативне повідомлення
на тему:
«Афінні перетворення»
Підготував:
Студент ФМІ
Групи МЕІ-51
Ковальчук Василь
Рівне 2012
Перетворення площини називається афінним, якщо воно довільні три точки які лежать на одній прямій переводить в точки
, які належать одній прямій і зберігає їх просте відношення, тобто (
)=(
)
Очевидно, що будь-яке перетворення подібності і будь-який рух являються афінними перетвореннями (оскільки вони зберігають просте відношення трьох точок).
Лема. Якщо афінні перетворення і
переводять дві точки А і В відповідно в точки
і
, то
, де М довільна точка прямої АВ.
Доведення.
Нехай М – довільна точка прямої АВ, відмінна від А і В, а .
Так як і
– афінні перетворення, то
і
, тому
і
співпадають, тобто
.
Теорема. Нехай R=(A,B,C) і – довільні репери площини. Тоді існує єдине афінне перетворення f, яке переводить репер R в
. При цьому будь-яка точка М з даними координатами в репері R переходить в точку
з тими ж координатами в репері
.
Доведення.
Покажемо спочатку, що таке афінне перетворення існує. Поставимо у відповідність довільній точці М з координатами х,у в репері R точку
з такими ж координатами в репері
:
. Відображення
буде взаємно-однозначним відображенням площини на себе, яке переводить R в
.
Покажемо що – афінне перетворення.
Нехай – три довільні точки однієї прямої, які в репері R мають координати:
,
.
Їх образи в репері мають такі ж координати:
,
.
Отже, , оскільки в обох випадках ми маємо одні і ті ж формули ділення відрізка у відношенні
:
,
. Тому f – афінне перетворення.
Доведемо єдиність перетворення f. Припустимо, що f1 - ще одне афінне перетворення, яке задовольняє умову теореми. Нехай М – довільна точка площини, а її образ при перетвореннях f і f1.
Через точку М проведемо пряму так, щоб вона перетинала будь-які дві із прямих АВ, ВС або АС в різних точках N і Р (рис.1)
Згідно леми ,
отже,
і
співпадають.
Тому – єдине афінне перетворення, яке задовольняє умови теореми.
Наслідок. Якщо точки , які не належать одній прямій, являють собою нерухомі точки афінного перетворення
, то
– тотожне перетворення.
Очевидно (як і для рухів), що будь-яке афінне перетворення або зберігає, або змінює орієнтацію площини (репери R і
однаково або протилежно орієнтовані). Отримаємо афінні перетворення 1-го і 2-го роду.
Дата добавления: 2015-10-24; просмотров: 48 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Билеты 5 и 9. Die Wohnung но здесь Meine Wohnung | | | Аналітичне задання афінного перетворення. Група афінних перетворень |