Аналітичне задання афінного перетворення. Група афінних перетворень

Нехай – дане афінне перетворення. Виберемо на площині афінний репер R і точку М з координатами х і у у цьому репері. Тоді, згідно теореми 5, репер R перейде при перетворенні в репер , а точка М в точку з такими ж координатами х і у в . Позначимо і координати точки в репері R. Потрібно виразити і через х і у. Таким чином, задача зводиться до звичайної задачі перетворення афінних систем координат: точка в старому репері має координати , , а в новому х, у, виразити , через х, у. Такі формули мають вигляд:

Визначник – якщо афінне перетворення першого роду, – афінне перетворення другого роду.

Зупинимося тепер на групі афінних перетворень та її підгрупах.

Позначимо через А множину всіх афінних перетворень площини. Покажемо, що А – група.

Розглянемо два афінних перетворення і .

Тоді, за означення афінного перетворення, будь-які три точки А, В і С прямої перейдуть при перетворенні в точки причому просте відношення

При перетворенні точки і перейдуть в точки і () = ().

Таким чином послідовне виконання двох афінних перетворень і відобразить точки А, В і С в точки і = (АВ,С), тобто композиція двох афінних перетворень є афінним перетворенням. Замкненість доведено. Покажемо, що якщо , то і .(існування оберненого) Дійсно, якщо точки належать одній прямій, то за означенням і їх образи також належать одній прямій і Отже, множина всіх афінних перетворень площини утворює групу.

Вона називається групою афінних перетворень площини.

Група подібності площини і група всіх рухів площини є підгрупами групи А. Очевидно, що і всі їх підгрупи є також підгрупами групи А. Неважко перевірити, що існують і інші підгрупи групи А. Наприклад, множина всіх афінних перетворень першого роду; множина всіх афінних перетворень для яких – нерухома точка (група центрально-афінних перетворень); множина всіх афінних перетворень, для яких пряма а складається з нерухомих точок.

Дата добавления: 2015-10-24