Непрерывная функция

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

Этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.

Свойства

Локальные

· Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

· Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

· Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

· Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

· Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

· Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

· Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

· Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

· Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

· Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

· Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

· Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Дата добавления: 2015-10-24