Задание № 1

Закон тока Кирхгофа (ЗТК)

Используем схему №2. Количество сложных узлов в схеме равно 4

(у_с = 4), следовательно, число независимых узлов равно

у_н = у_с – 1 = 4 – 1 = 3. По закону тока Кирхгофа мы можем составить 3 линейно-независимых уравнения.

+ I₂ + I₃ + I₅+ I_J = 0 + I₁ - I₂ + I₇ = 0 - I₃ + I₄ - I₇ - I_J = 0

Закон напряжения Кирхгофа (ЗНК)

Количество ветвей в схеме равно 7 (в = 7), число независимых контуров равно к_н = в – у_н = 7 – 3 = 4. Составим уравнения по закону напряжения Кирхгофа для всех независимых контуров.

	1 1

- U_E3 + U_R3 – U_R7 + U_E2 – U_R2 = 0 + U_R2 – U_E2 – U_E1 + U_R1 + U_E5 – U_R5 = 0 + U_R7 – U_E4 + U_R4 – U_R1 + U_E1 = 0

– U_R3 + U_E3 – U_J = 0

Перепишем эти уравнения, используя закон Ома (U = I*R). Падение напряжения на источнике напряжения равно его Э.Д.С., т.к. внутреннее сопротивление источника равно нулю.

	1 1

- E₃ + I₃ R₃ – I₇ R₇ + E₂ – I₂ R₂ = 0 + I₂ R₂ – E₂ – E₁ + I₁ R₁ + E₅ – I₅ R₅ = 0 + I₇ R₇ – E₄ + I₄ R₄ – I₁ R₁ + E₁ = 0

– I₃ R₃ + E₃ – U_J = 0

Заменив все известные величины их числовыми значениями в уравнениях законов тока и напряжения Кирхгофа, получим систему из 7 уравнений с 7 неизвестными. Перенесем известные слагаемые в правую часть. I_J = I = 4[А].

+ I₂ + I₃ + I₅ = -4 + I₁ – I₂ + I₇ = 0

- I₃ + I₄ – I₇ = 4

1 1

+ 4I₃ – 8I₇ – 4I₂ = –30

2 1

+ 4I₂ + 3I₁ – 6I₅ = 12

3 1

+ 8I₇ + 5I₄ – 3I₁ = 28

4 1

- 4I₃ – U_J = –20

Перепишем данную систему в виде матрицы и решим ее с помощью ЭВМ.

I1	I2	I3	I4	I5	I7	UJ
0							= -4
1	-1						= 0
0		-1			-1		= 4
2 1 3 1 4 1 1 1 0	-4				-8		= -30
				-6			= 12
-3							= 28
		-4				-1	= -20

I₁ = –0,73 [А], I₂ = 0,94 [А], I₃ = – 3,2 [А], I₄ = 2,47 [А], I₅ = – 1,73 [А],

I₇ = 1,68 [А], U_J = 32, 81 [В].

Задание №2.

Метод контурных токов (МКТ)

Заменим источник тока эквивалентным источником напряжения. Его Э.Д.С. будет равна E_J = + I_J R₃ = + 4*4 = 16 [В].

Схема 3. Схема для МКТ

Так как в нашей схеме 3 независимых контура (к_н = 3), то система уравнений для МКТ будет содержать три уравнения. Запишем ее исходный вид.

R₁₁*I₁₁ + R₁₂*I₂₂ + R₁₃*I₃₃ = E₁₁,

R₂₁*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ + R₂₃*I₃₃ = E₂₂,

R₃₁*I₁₁ + R₃₂*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃,

Рассчитаем значения контурных сопротивлений и контурных Э.Д.С.

R₁₁ = R₃ + R₇ + R₂ = 4 + 8 + 4 = 16 [Ом]

R₂₂ = R₂ + R₁ + R₅ = 4 + 3 + 6 = 13 [Ом]

R₃₃ = R₇ + R₄ + R₁ = 8 + 5 + 3 = 16[Ом]

R₁₂ = R₂₁ = -R₂ = – 4[Ом]

R₁₃ = R₃₁ = -R₇ = – 8[Ом]

R₂₃ = R₃₂ = -R₅ = – 3[Ом]

E₁₁ = + E₃ + E_J – E₂ = 20 + 16 – 50 = – 14 [В]

E₂₂ = + E₂ + E₁ – E₅= 50 + 2 – 40 = 12 [В]

E₃₃ = + E₄ – E₁ = 30 – 2 = 28[В]

Подставим полученные значения в исходные уравнения.

16*I₁₁ – 4*I₂₂ – 8*I₃₃ = -14,

- 4*I₁₁ + 13*I₂₂ – 3*I₃₃ = 12,

- 8*I₁₁ – 3*I₂₂ + 16*I₃₃ = 28,

Решая данную систему, получим:

I₁₁ = 0,8[А], I₂₂ = 1,74[А], I₃₃ = 2,47[А],

Выразим токи ветвей через контурные токи.

I₁ = + I₂₂ – I₃₃ = + 1,74 – 2,47 = – 0,73[А],

I₂ = – I₁₁ + I₂₂ = – 0,8 + 1,74 = 0,94[А],

I₃ = + I₁₁ = + 0,8[А],

I₄ = + I₃₃ = + 2,47[А],

I₅ = – I₂₂ = – 1,74[А],

I₇ = – I₁₁ + I₃₃ = -0,8 + 2,47 = 1,68[А],

Найдем реальный ток в 8 ветви по закону Кирхгофа:

I₃’ = + I₃ – I = + 0,8 – 4 = - 3,2[А].

Метод узловых потенциалов (МУП)

Используем схему №2. Запишем систему уравнений МУП в общем виде. Так как в схеме 4 узла, следовательно, система будет содержать
3 уравнения. Потенциал 4 узла примем за 0 (ϕ₄₄ = 0).

G₁₁* ϕ₁₁ + G₁₂* ϕ₂₂ + G₁₃* ϕ₃₃ + G₁₄* ϕ₄₄ = I₁₁,

G₂₁* ϕ₁₁ + G₂₂* ϕ₂₂ + G₂₃* ϕ₃₃ + G₂₄* ϕ₄₄ = I₂₂,

G₃₁* ϕ₁₁ + G₃₂* ϕ₂₂ + G₃₃* ϕ₃₃ + G₃₄* ϕ₄₄ = I₃₃,

Рассчитаем значения проводимостей и токов:

G₁₁ = 1/R₂ + 1/R₃ + 1/R₅ = 1/4 + 1/4 + 1/6 = 0,67[См]

G₂₂ = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₇ = 1/3 + 1/4 + 1/8 = 0,71[См]

G₃₃ = 1/R₃ + 1/R₄ + 1/R₇ = 1/4 + 1/5 + 1/8 = 0,57[См]

G₁₂ = G₂₁ = – 1/R₂ = – 1/4 = – 0,25[См]

G₁₃ = G₃₁ = – 1/R₃ = – 1/4 = – 0,25[См]

G₂₃ = G₃₂ = – 1/R₇ = – 1/8 = –0,12[См]

I₁₁ = – E₂/R₂ – E₃/R₃ – E₅/R₅ –I = – 50/4 – 20/4 – 40/6 – 4 = – 28,16[А]

I₂₂ = - E₁/R₁ + E₂/R₂ = – 2/3 + 50/4 = 11,83[А]

I₃₃ = + E₃/R₃ – E₄/R₄ + I = 20/4 – 30/5 + 4 = 3[А]

Подставим полученные значения в исходные уравнения.

0,67* ϕ₁₁ – 0,25* ϕ₂₂ – 0,25* ϕ₃₃ = –28,16,

– 0,25* ϕ₁₁ + 0,71* ϕ₂₂ – 0,13* ϕ₃₃ =11,83,

– 0,25* ϕ₁₁ – 0,13* ϕ₂₂ + 0,57* ϕ₃₃ = 3,

Решая данную систему, получим:

ϕ ₁₁ = – 50,43[В], ϕ₂₂ = – 4,2[В], ϕ₃₃ = – 17,62[В],

Выразим токи ветвей через узловые потенциалы

I₁ = (ϕ₂₂ – ϕ₄₄ + E₁)/R₁ = (– 4,2 – 0 + 2)/3 = – 0,73[А]

I₂ = (ϕ₁₁ – ϕ₂₂ + E₂)/R₂ = (-60,41 – (-18,2) +50)/4 = 1,95[А]

I₃ = (ϕ₄₄ – ϕ₅₅ + E₃)/R₃ = (-26,89 – 0 + 20)/4 = -1,72[А]

I₄ = (ϕ₁₁ – ϕ₃₃ + E₄)/R₄ = (-49,32 – (-18,2) + 30)/5 = -0,22[А]

I₅ = (ϕ₂₂ – ϕ₄₄ +E₅)/R₅ = (-60,41 – (-26,89) + 40)/6 =1,08[А]

I₇ = (ϕ₁₁ – ϕ₄₄)/R₇ = (-49,32 – (-26,89))/8 = -2,8[А]

I₈ = (ϕ₃₃ – ϕ₅₅)/R₈ = (-18,2 -0)/8 = -2,27[А]

Дата добавления: 2015-10-02