Методы, основанные на применении математических функций

Основной сферой применения методов этого класса является прогнозирование численности населения небольших территорий, особенно тех, для которых не существует надежной демографической статистики.

Математические методы иногда применяются также для анализа исторической динамики и прогнозирования численности населения на глобальном уровне.

Математические методы позволяют получить прогноз только общей численности населения. Для прогнозирования в принципе могут применяться самые разные математические функции. Наиболее часто, однако, используются линейная, экспоненциальная и логическая функции.

Один из простейших способов прогнозирования основан на предположении о том, что среднегодовые абсолютные величины прироста (убыли) численности населения, рассчитанные для отчетного периода времени, сохранятся и в будущем.

Иначе говоря, в этом случае для перспективного расчета применяется линейная функция:

P_t = P₀ + ∆ × t,

где: P₀ и P_t – численность населения соответственно в моменты

времени, 0 и t, ∆ - абсолютный среднегодовой прирост (убыль),

t – время в годах.

В реальности для прогнозирования численности населения линейная функция практически не используется.

Несколько более реалистичным является предположение о неизменности среднегодовых темпов прироста (убыли) численности населения, особенно при допущении неизменных уровней рождаемости и смертности и постоянном сальдо миграции. В этом случае речь идет об использовании в прогнозировании экспоненциальной функции:

P_t = P₀ × e^rt,

где: r – среднегодовые темпы прироста (убыли), t – время в годах,

e – основание натуральных логарифмов.

Помимо линейной и экспоненциальной функции в прогнозировании могут использоваться и другие математические функции. В принципе это может быть любая функция. Однако в любом случае она носит эмпирический характер, и не существует никакого общего математического закона демографической динамики.

Если же предположить, что изменение численности населения за бесконечно малым промежуток времени является функцией численности населения, то получают другой класс гипотез и соответственно математических зависимостей. Одним из них является экспоненциальная функция с ненулевым постоянным членом, или рост (убыль) численности населения в геометрической прогрессии.

Другим примером такого рода функций является логистическая функция (кривая Ферхюлста-Пирла-Рида), особенность которой состоит в том, что ее приращение уменьшается по мере роста численности населения.

Идея логистической функции была впервые высказана А. Кетле в 1835 г. и позже (в 1838 г.) аналитическим выведена бельгийским математиком Пьером Франсуа Ферхюлстом (1804 – 1849). Ферхюлст пытался найти кривую, описывающую ситуацию «автонасыщения», которая предполагает существование некоторой предельной для данных конкретных условий численности населения. По мере приближения к этой предельной численности рост населения замедляется вследствие действия неких внутренних сил сопротивления, мешающих этому росту. Поиск такого рода функции был необходим А. Кетле для опровержения «закона народонаселения» Т.Р. Мальтуса. Этот «закон» исходит из того, что не ограничиваемый ничем рост населения происходит в геометрической прогрессии (по экспоненциальной функции). По словам Кетле, в действительности экспоненциальный рост не имеет места из-за того, что «сопротивление или сумма препятствий его увеличению, при прочих равных условиях, действует как квадрат скорости, с какой население имеет тенденцию роста». Развивая эту идею, Ферхюлст и вывел логистическую функцию.

Затем логистическая кривая была надолго забыта и вновь выведена американскими биологами Раймондом Пирлом (1879 – 1940) и его сотрудником Л. Ридом. В 1920 г. Пирл и Рид опубликовали статью под названием «О темпах роста населения Соединенных Штатов с 1790 г. и их математическом выражении», в которой они распространили выведенную ими закономерность на человеческое население и применение логистическую кривую для прогнозирования численности населения США.

Как поеазало сравнение расчетных данных с итогами последующих переписей населения США, полученные данные хорошо согласуются с численностью населения по переписи 1930 г., превышают на 5 млн численность населения по переписи 1940 г., недооценивают более чем на 2 млн численность населения по переписи 1050 г. и далеко расходятся с итогами последующих переписей. Основная причина этих расхождений заключается не только в том, что прогноз не учитывал внешнюю миграцию в США, но и в том, что его авторы фактически игнорировали вероятность изменения репродуктивного поведения населения, предположив неизменность показателей рождаемости на протяжении всего прогнозного периода. Точно также прогноз Пирла и Рида не учитывал изменения в смертности.

Известен также опыт применения логистической функции для прогноза численности населения СССР. В 1930 г. отечественный биолог Г.Ф. Гаузе опубликовал свой прогноз численности населения Ленинграда и Европейской части СССР, основанный на использовании логистической функции.

Подобно линейной и экспоненциальной функциям, логистическая функция не может отражать динамику реальных населений в сколько-нибудь длительной перспективе.

Тем не менее логистическая функция может использоваться для прогнозирования небольших территорий, если общая численность населения страны используется как контрольная величина для суммарного населения всех регионов.

В настоящее время разработаны специальные компьютерные программы, позволяющие прогнозировать динамику численности населения с помощью различных функций. Однако методы прогнозирования, основанные на применении различных математических функций могут применяться только для кратких периодов времени, для которых предположение о неизменности характера зависимости между временем и численностью населения остается более или менее правдоподобным.

В конце ХХ в. в работах сотрудников Международного Института прикладного системного анализа в г. Лаксенбург (Австрия), В. Лутца, У. Сандерсона и С. Щербакова был разработан принципиально иной метод демографического прогнозирования, основанный на использовании стохастического, или имитационного, моделирования. Стохастический прогноз представляет собой результат серии стохастических (случайных) имитаций всех возможных комбинаций сценарных переменных, конкретные параметры которых предлагаются экспертами.

Дата добавления: 2015-10-24