Пример 2. Рассмотрим переходной процесс в линейной электрической цепи второго порядка

Читайте также:

Рассмотрим переходной процесс в линейной электрической цепи второго порядка, вызванный подключением ветви, содержащей емкость (рис. 4.4). Выберем в качестве реакции ток, протекающий через емкость. Однако задачу проще решить, если сначала найти выражение, описывающее изменение напряжения на емкости, а затем воспользоваться компонентным соотношением.

Рис. 4.4

Данная цепь содержит два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа достаточно составить одно уравнение и по второму закону Кирхгофа – два уравнения[3]. Дополним эти уравнения компонентными соотношениями. Полученная система уравнений имеет вид:

(4.19)

Сведем данную систему уравнений к дифференциальному уравнению для напряжения на емкости. С этой целью подставим , и во второе и третье уравнения. Получим:

(4.20)

Выразим из первого уравнения и подставим во второе. Получим систему из трех уравнений вида:

(4.21)

Следующим шагом исключим из системы . Для этого выразим его из второго уравнения и подставим в первое. Получим:

(4.22)

Подставим в первое уравнение, приведем подобные и разделим все уравнение на . Получим:

. (4.23)

Введем принятые выше обозначения:

Пусть , , , , . Тогда:

Поскольку , то характер переходного процесса – критический. Значит, свободная составляющая напряжения на емкости равна:

, (4.24)

где:

Вынужденную составляющую напряжения на емкости найдем, исключив обе производные из дифференциального уравнения (4.23):

. (4.25)

Тогда общее решение уравнения (4.23) имеет вид:

. (4.26)

Для определения констант интегрирования и найдем зависимые и независимые начальные условия. Рассмотрим цепь в момент времени , предшествующий замыканию ключа (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Согласно второму закону Кирхгофа для данной цепи:

Следовательно:

Поскольку емкость была отключена от цепи, то напряжение на ней равнялось нулю:

Согласно законам коммутации:

, .

Рассмотрим цепь в момент времени , следующий сразу за замыканием ключа, и определим зависимое начальное условие (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Поскольку сопротивление в данной схеме оказывается закороченным, то напряжение на нем равно нулю, а значит, согласно закону Ома, и ток . Следовательно, так как разветвления тока источника не происходит, то: