Организация эксперимента, ч II 1 страница

Лабораторный практикум и пособие для выполнения

домашнего задания и курсовой работы

для специальности 1105

специализация 1105.02

"Металловедение цветных и драгоценных металлов"

Под редакцией проф. В.С.Золоторевского

__________________________________________________________________

Москва 1997 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Лабораторная работа 1. Первичная статистическая обработка экспериментальных данных.

Лабораторная работа 2. Использование корреляционного анализа для выбора экспериментально определяемых параметров оптимизации.

Лабораторная работа 3. Использование функции желательности для выбора сплава с оптимальным сочетание различных показателей качества.

Лабораторная работа 4. Построение математических зависимостей "состав- свойство" методом симплексного планирования.

Лабораторная работа 5. Построение математических зависимостей "параметры термообработки - свойство" методом симплексного планирования.

Лабораторная работа 6. Построение линейных моделей "состав-свойство" методом множественного регрессионного анализа.

Лабораторная работа 7. Использование матричных функций для расчета об)емных долей фаз в многокомпонентных сплавах

Лабораторная работа 8. Расчет шихты вторичных многокомпонентных сплавов

Домашнее задание "Построение полных и дробных факторных планов"

Курсовая работа "Построение математической модели поверхности ликвидус реальной трехкомпонентной системы методом симплекс планирования".

Приложение 1. Критические значения t-критерия

Приложение 2. Критические значения F-критерия

Приложения 3. Критические значения коэффициента корреляции

Приложение 4. Расчетные формулы для симплекс-решетчатых планов

ВВЕДЕНИЕ

Лабораторный практикум по второй части курса "Организация эксперимента" предназначен для студентов, специализирующихся по металловедению цветных и драгоценных металлов. В первой части они изучают теоретические основы организации эксперимента, а во второй - применение общих методов для решения конкретных задач металловедения. Все работы выполняются на ЭВМ, преимущественно в программе EXCEL (версии 5.0 и 7.0), которая в настоящее время является одной из наиболее распространенных для обработки баз данных, в том числе результатов эксперимента. Описание EXCEL можно найти в многочисленных книгах, а также непосредственно при работе с этой программой в режиме "HELP"("ПОМОЩЬ"). На лабораторных занятиях студент должен получить навыки работы на компьютере при решении типичных металловедческих задач, используя готовые программы и шаблоны. Перед началом работы на компьютере необходимо подготовить исходные экспериментальные значения (варианты приведены в данном практикуме) для ввода в соответствующую программу. Все лабораторные работы выполняются и защищаются индивидуально. Необходимые требования к отчету даны в конце описания каждой работы.

Данный практикум является также пособием для выполнения домашнего задания и курсовой работы по второй части курса "Организация эксперимента".

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

(2)

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить методику сравнения средних значений по данным эксперимента.

знакомиться с расчетом статистических функций "СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ" и "ДИСПЕРСИЯ" и построением графиков на ПЭВМ в программе EXCEL 7.0.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Сравнение разных объектов исследования (материалов или технологических процессов) обычно производят по средним значениям каких-либо показателей, полученных в результате эксперимента. В данной лабораторной работе решается задача оценки значимости отличия таких показателей, т.е. выясняется является ли данное отличие результатом ошибки эксперимента или оно существенно. Например, при создании новых сплавов стремятся повысить заданные свойства, варьируя различными параметрами (вводя новые добавки, меняя концентрации имеющихся легирующих компонентов, изменяя режим термообработки и т.д.). Первым условием обоснования нововведений является достаточная значимость повышения свойств.

С другой стороны, по экономическим соображения бывает целесообразно упростить состав сплава и технологию его получения. В этом случае необходимо оценить насколько значимым окажется изменение заданных показателей. Если, предположим по результатам эксперимента переход от двухступенчатого режима старения к одноступенчатому не снизит требуемые показатели (например, прочности и пластичности), то появляются основания для замены первого режима вторым, более простым.

Для решения вопроса о случайном или неслучайном расхождении средних значений при известных дисперсиях ошибок (s) необходимо рассчитать критерий Стьюдента:

t=(X_1ср- X_2ср)/V (s₁² / N₁ + s₂² / N₂) (1.1)

где X_1ср , X_2ср,s₁², s₂² -средние значения и дисперсии для 1-ой и 2-ой экспериментальной серии; N₁ и N₂- число измерений для 1-ой и второй серии

Если дисперсии заранее неизвестны, то сравнение средних производится только при добавочном предположении, что дисперсии ошибок в обеих сериях измерений одинаковы (например, измерения производятся на одном приборе). В этом случае по данным эксперимента рассчитывают эмпирические дисперсии S, а величину t определяют следующим образом:

t=(X_1ср- X_2ср)/S V (1/ N₁ + 1/ N₂) (1.2)

где S=V ((N₁ -1)S₁ +(N₂-1)S₂)/ ((N₁ -1) +(N₂ -1)),

S₁ и S₂ эмпирические дисперсии для первой и второй серии

Далее по заданной вероятности вывода P и числу степеней свободы K?N +N -2) по таблице (приложение 1) определяют значение t(P,K). Если абсолютная величина рассчитанного значения t превосходит табличное значение, то расхождение средних можно считать неслучайным. Если рассчитанное значение t оказывается меньше табличного, то для заданной вероятности P нет оснований считать расхождение средних значений значимым. При небольшом различии табличного и рассчитанного значений t можно ограничиться более низкой надежностью вывода (например 0.95 вместо 0.99).

Расчет средних значений и дисперсий можно быстро производить в программе EXCEL, используя соответствующие функции (рис.1.1). Эта программа позволяет также строить графики различного вида, например Xср. от какой либо переменной (рис.1.2), что как правило является необходимым при первичной обработке результатов эксперимента.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Предприятию для изготовления детали необходимы прутки из алюминиевого деформируемого сплава. Известно, что срок службы деталей определяется при данных условиях работы в основном двумя показателями (см варианты задания), максимальный уровень которых является главным фактором при выборе поставшика.

Прутки данного сплава можно купить у трех фирм. Анализ химического состава образцов показал, что существенное различие наблюдается только в содержании железа (см варианты задания), повышение которого соответствует значительному снижению цены. Сравнительный анализ их продукции можно провести по экспериментальным данным, полученным в одинаковых условиях одной испытательной лаборатории.

1. По результатам измерений, приведенных в таблице 1.1, определить средние значения свойств для прутков из 3-х партий и их дисперсии, используя программу EXCEL (раздел статистических функций).

2. По формуле (2) рассчитать величину t для двух показателей у прутков с минимальным и максимальным содержанием железа.

3. Используя таблицу критических значений t, определить значимость различия средних значений для вероятности P=0.95 и Р=0.99

4. Дать рекомендацию предприятию по выбору фирмы.

5. Построить графики зависимости заданных свойств от содержания железа, используя программу EXCEL.

4. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Привести все расчетные формулы с расшифровкой всех обозначений.

2. Привести в виде таблицы исходные экспериментальные данные и рассчитанные значения X и S.

3. Привести расcчитанные и табличные значения t для надежности вывода 0,95 и 0,99.

4. Привести графики зависимостей заданных свойств от содержания железа.

5. ЛИТЕРАТУРА

1. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов

эксперимента. М.:Наука,1971, С.37-39,174.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какова цель использования статистических критериев при сравнении средних значений?

2. Можно ли сравнивать средние значения, полученные в результате эксперимента без знания дисперсии?

3 Как изменится расчетное значение t, если при неизменных средних значениях для одной серии измерений увеличится дисперсия?

4. Как можно повысить надежность вывода сравнения средних?

5. Можно ли сравнивать единичные экспериментальные данные?

6. Что показывает уровень значимости?

7. Как изменится табличное значение t, если изменить уровень значимости a при сохранении объема выборки

ПРЕДЕЛ ТЕКУЧЕСТИ, МПа			ОТНОСИТ.УДЛИНЕНИЕ,%
N	СПЛ-1	СПЛ-2	СПЛ-3		СПЛ-1	СПЛ-2	СПЛ-3
					12.3	8.5	5.5
						8.8	4.6
					9.9	7.4	4.8
					10.5	9.1	5.6
					11.3	7.9	6.1
					10.5	8.5	5.3
					11.5	9.3	5.2
					12.1	9.1	4.4
					10.3	8.7	4.7
					10.8		4.9
					10.3
%,Fe	0.25	0.4	0.55	%,Fe	0.25	0.4	0.55
средн.	435.9091	555.6667	464.9		10.95455	8.588889	5.11
дисп.	113.6909	540.25	138.1		0.594727	0.373611	0.276556
ст.откл.	10.66259	23.24328	11.7516		0.771186	0.611237	0.525885

Рис.1.1 Шаблон для расчета средних значений и дисперсий

Рис.1.2. График зависимости относительного удлинения от концентрации железа в сплаве

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N2

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ВЫБОРА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ ОПТИМИЗАЦИИ

(2 ч)

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Научиться минимизировать количество параметров оптимизации и обосновывать возможность использования экономичных экспериментальных методик с помощью корреляционного анализа.

Ознакомиться с расчетом статистической функции "КОРРЕЛЯЦИЯ" на ПЭВМ в программе EXCEL 7.0.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Целью исследовательских и инженерных работ металловедов часто является достижение наилучшего уровня заданных показателей качества (параметров оптимизации). Наиболее простой случай, когда имеется одна зависимая переменная (например временное сопротивление), которую надо оптимизировать. Однако, на практике такие случаи встречаются довольно редко. Как правило, имеется несколько совершенно различных параметров оптимизации. Например, при получении деталей методом фасонного литья традиционным является следующий минимальный комплекс свойств: временное сопротивление, твердость, относительное удлинение, горячеломкость и жидкотекучесть. Если речь идет об ответственных изделиях, то требования к материалам могут выражаться несколькими десятками показателей. Поскольку экспериментальное определение многих из них является весьма дорогостоящим (например, характеристики выносливости, высокотемпературной ползучести), их количество не может быть слишком большим. В этом случае число параметров стараются уменьшить, используя наличие между различными параметрами корреляционных связей. Для определение этих связей между двумя параметрами оптимизации рассчитывают коэффициент парной корреляции на основе имеющихся экспериментальных данных.

Этот коэффициент определяется по формуле:

R₁₂=å(Y1_i-Y1ср) (Y2_i-Y2ср)/Vå((Y1_i-Y1ср)² (Y2_i-Y2ср)²) (2.1)

где Y1_i, Y2_i - значения 1-го и 2-го параметров в i-том опыте

Y1_ср, Y2_ср - средние значения 1-го и 2-го параметров по N опытам

Коэффициент парной корреляции R является мерой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами, его значение может находиться в пределах от -1 до +1. Если R равен 0, то линейная связь отсутствует (однако при этом не исключается наличие сильной нелинейной связи), если R=+1 или -1, имеется линейная функциональная связь (соответственно, прямая и обратная). В большинстве случаев коэффициент корреляции имеет промежуточное значение. Чем ближе значение R к 1, тем более тесная связь между двумя параметрами и соответственно, с большей вероятностью можно предсказывать значение одного параметра по значению другого. Иными словами, если значение R достаточно близко к 1, то один из параметров (Y2) можно исключить из эксперимента (по крайней мере на определенных стадиях), т.к. его значения могут быть рассчитаны по уравнению линейной регрессии:

Y2=b₀+b₁Y1 (2.2),

где Y1- значение эксперементально определяемого параметра,

b₀, b₁- коэффициенты регрессии

После расчета коэффициентов парной корреляции устанавливают их статистическую значимость, то есть по выбранному уровню значимости a (обычно 0,01 или 0,05) и числу степеней свободы N-2 определяют критическое значение коэффициента корреляции R (это делается по специальным таблице). Если R>R_кр, то линейная связь между двумя параметрами считается статистически значимой.

Следует отметить, что формальное использование корреляционного анализа без учета металловедческих принципов и закономерностей может привести к ошибочным результатам. Это связано с тем, что корреляционные связи часто не являются причинными и зависят друг от друга не прямо, а через другие факторы. В качестве примера можно привести возможное наличие сильной обратной линейной связи между пластичностью и горячеломкостью для силуминов (с ростом концентрации Si до эвтектической точки литейные свойства возрастают, а пластичность падает). Из этого вовсе не следует, что так происходит всегда. Более того, в тех же силуминах при переходе за эвтектическую точку рассматриваемые свойства будут снижаться одновременно. Из этого следует то, что при использовании корреляционных связей следует учитывать объект, на котором были получены экспериментальные данные. Другим примером может являться сильная обратная линейная связь между пределом текучести и вязкостью разрушения для многих марок высокопрочных сплавов (сталей, титановых и алюминиевых сплавов), однако эта связь также не является универсальной, поэтому попытка предсказать значения вязкости разрушения по пределу текучести для малоизученного сплава может привести к совершенно неправильному результату.

В ряде случаев можно предсказать для тех или иных объектов наличие сильной корреляционной связи на основании общих закономерностей металловедения, связанных со структурным анализом влияния различных факторов на свойства. Например, многие показатели прочности, полученные при испытаниях на растяжение, сжатие и изгиб, часто имеют достаточно высокую прямую корреляцию друг с другом, что позволяет по известным зависимостям (от состава или параметров технологического процесса) одного из показателей предсказывать соответствующие изменения остальных. Очень часто для предсказания прочностных характеристик используют показатели твердости. То же относится и к показателям литейным свойствам, определяемых по разным пробам. В этих случаях корреляционные связи между "однородными" показателями имеют более универсальный характер и, соответственно, большую воспроизводимость на разных объектах.

После установления корреляционных связей производится отбор показателей для экспериментального определения. При прочих равных условиях приоритет отдают наиболее экономичным методикам, например определению твердости перед испытаниями на растяжение, относительно кратковременным испытаниям перед длительными и т.д.

Если определение стандартных характеристик является слишком дорогостоящим, то в научных исследованиях часто используют более дешевые лабораторные методики, если между первыми и нестандартными показателями имеется сильная корреляция. Например, испытания на изгиб легко проводить на отдельно отлитых образцах, что является существенным преимуществом перед испытаниями на растяжение, которые, как правило, требуют специально выточенных образцов. В первом случае определяют временное сопротивление при изгибе и угол загиба. Эти показатели для многих групп сплавов имеют сильную корреляцию со стандартными

характеристиками прочности и пластичности: временным сопротивлением и относительным удлинением. Стандартные характеристики горячеломкости и жидкотекучести можно оценивать по карандашной и шариковой пробам соответственно, которые требуют значительно меньше металла и, следовательно, более экономичны.

Для расчета коэффициентов корреляции и регрессии целесообразно использовать специальные программы для ЭВМ, в частности EXCEL, которая позволяет создавать шаблоны для быстрого решения однотипных задач. В качестве примера на рис.2.1 приведен такой шаблон для расчета значений R, b0 и b1 по десяти значениям восьми параметров. Для получения искомых значений достаточно ввести значения экспериментальных данных в соответствующие ячейки (т.е. заменить старые значения). Для большей наглядности можно представить экспериментальные значения двух параметров на диаграмме в координатах Y1-Y2 (рис.2.2).

.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Необходимо провести поисковую работу по созданию нового литейного алюминиевого сплава, обладающего заданным уровнем следующих свойств:

1- временное сопротивление, s_в,МПа;

2- предел текучести, s_в, МПа;

3- твердость, НВ;

4- относительное удлинение, d,%;

5- горячеломкость по кольцевой пробе ВИАМ (чем меньше критическая

толщина стенки кольцевой отливки, тем лучше), ПГ1, мм.

Некоторые из указанных свойств в принципе можно оценивать по

нестандартным лабораторным показателям:

6 - временное сопротивление при изгибе, s_ви, МПа;

7- угол загиба при изгибе, g, град;

8- горячеломкость по карандашной пробе, ПГ2, мм

1. По заданным значениям восьми параметров (см. варианты

задания), используя программу EXCEL определить коэффициенты

корреляции R между всеми парами параметров оптимизации.

2. Используя таблицу критических значений коэффициентов

корреляции, определить значимость расчетных значений R для уровня

a=0.01.

3. Рассчитать коэфициенты линейной регрессии и их доверительные

интервалы для пар со значимыми величинами R.

4. Дать рекомендации по выбору параметров оптимизации для

проведения наиболее экономичного эксперимента.

4. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Привести расчетную формулу коэффициента корреляции R с расшифровкой всех обозначений.

2. Привести в виде таблицы исходные экспериментальные данные и рассчитанные значения R.

3. Привести уравнения линейной регрессии для пар со значимыми величинами R.

4. Привести заключение по отбору минимального количества показателей для экспериментального определения.

5. ЛИТЕРАТУРА

1. Новик Ф.С., Арсов Я.Б. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования экспериментов. М.: Машиностроение, 1980, С.15-26.

2. Румшиский Л.З.Математическая обработка результатов эксперимента. М.:Наука,1971, С.107-122.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какова цель использования корреляционного анализа на стадии подготовки эксперимента?

2. Как изменится критическое значение коэффициента корреляции с увеличением объема выборки?

3. Можно ли оценить наличие линейной корреляционной связи по двум опытам?

4. Что означают следующие значения коэффициента корреляции: 0; +1; -1?

5. Что показывает коэффициент линейной корреляции?

6. Чем отличается функциональная связь между двумя величинами от корреляционной?

7. Что необходимо знать для расчета коэффициента линейной корреляции?

8. Является ли высокое значение R достаточным основанием для признания причинной зависимости одного показателя от другого?

9. Чем ограничено применение корреляционной зависимости между двумя величинами?

ЛАБ.2	КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
A	B	C	D	E	F	G	H
			10.5	17.5
			8.2	12.5
			4.6
			2.1				9.5
			1.4				5.5
			5.8	7.5
			8.7
				22.5
			3.2
			4.5	12.5
R-AB =	0.854101		R-BF =	-0.38357		R-DG =	-0.75578
R-AC =	0.89751		R-BG =	0.820931		R-DH =	0.978866
R-AD =	-0.84138		R-BH =	-0.82398		R-EF =	0.961286
R-AE =	-0.09987		R-CD =	-0.8756		R-EG =
R- AF =	-0.06132		R-CE =	-0.41012		R-EH =	0.465088
R- AG=	0.972007		R-CF =	-0.37239		R-FG =	0.035254
R- AH =	-0.84261		R-CG =	0.862585		R-FH =	0.424636
R-BC =	0.958106		R-CH =	-0.81964		R-GH =	-0.77185
R-BD =	-0.85957		R-DE =	0.548028
R-BE =	-0.39988		R-DF =	0.530142
						Y=b0+b1*X
A-	врем.сопр.при растяжении
B-	предел текучести	МПа		знач. b1	1.55303	2.689394	знач. b0
C-	твердость	НВ			погр. b1	0.157394	1.186209	погр. b0
D-	относительное удлинение, %		коэф. d	0.924071	1.617407	погр.Y
E-	горячеломкость-ПГ1	ВИАМ	мм
F-	горячеломкость-ПГ1	кость-ПГ2	карандаш	мм
G-	врем.сопр. при изгибе	МПа		ПГ2	ПГ1
H-	угол загиба при изгибе	град.		X	Y
							12.00758

Дата добавления: 2015-09-02