Организация эксперимента, ч II 3 страница

Y₁ Y₉ Y₅ Y₁₀ Y₃

Рис.4.1. Решетчатые симплексные планы трехкомпонентной системы:

д- полная четвертая степень;

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 5

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИМПЛЕКСНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ДЛЯ

ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

(2 ч)

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить метод симплекс-планирования для построения математических моделей параметры термообработки-свойство.

Закрепить навыки работы с программой "СИМПЛЕКС" для решения различных задач, связанных с симплекс-планированием.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Метод симплексного планирования может быть использован для построения зависимостей свойств не только от состава, но и от различных технологических параметров (режимов термообработки, плавки, обработки давлением и т.д.). В случае двумерного симплекса количество независимых переменных равно двум, а вершинами треугольника являются заданные комбинации этих переменных параметров, которым присваивают те же кодовые значения, что и в случае состава: 1- X₁ =1; X₂ =0; X₃ =0; 2- X₁ =0; X₂ =1; X₃ =0; 3- X₁ =0;X₂ =0; X₃ =1. Очевидно, что состав сплава и другие технологические параметры должны быть постоянными. Выбор вершин симплекса осуществляют таким образом, чтобы вся интересующая исследователяобласть изучаемых параметров оказалась бы внутри треугольника. В связи с этим метод симплексного планирования для изучения влияния двух независимых переменных целесообразно использовать в том случае, когда изучаемая область достаточно хорошо подходит для треугольника, например при решении задач связанных с оптимизацией температуры и времени термообработки.

Это обусловлено тем, что при низких температурах диффузионные процессы в сплавах протекают сравнительно медленно, а при высоких - относительно быстро, поэтому в первом случае требуются как правило, длительные выдержки, а во-втором - короткие. Если же изучаемая область имеет прямоугольную форму, то целесообразность использования треугольного симплекса значительно снижается.

Перевод значений двух рассматриваемых параметров (P₁ и P₂) с определенной размерностью (температура, время, давление и т.д.) в безразмерные кодовые значения производят по следующим соотношениям:

X₂=(P₁ -P_1min)/(P_1max -P_1min);?5.1%

X₃=(P₂ -P_2min)/(P_2max -P_2min)

X₁ =1-X₂ -X₃,

где P_imax (P_imin - максимальное и минимальное значение i-параметра.

Например, при изучении влияния температуры и времени нагрева по закалку в диапазоне 700-850 С, 2-10 ч при 700 С и 2-4 ч при 850 С на свойства (Y1,Y2,Y3) сплава с использованием метода симплексного планирования следует провести следующую подготовительную процедуру.

1. Выбрать вершины симплекса, например: 1-700С, 2ч; 2- 700 С, 10 ч 3- 900 С, 2 ч. В этом случае вся изучаемая область окажется внутри треугольного симплекса.

2. Составить формулы перевода натуральных значений в кодовые:

X =(T-700)/200; X =(t-2)/8; X₁ =1-X₂ -X₃

3. Выбрать степень модели и составить матрицу планирования, которая для модели неполной четвертой степени имеет следующий вид:

N	X1	X2	X3	T, ^0C	t, ч	Y1	Y2
						Y11	Y21
						Y12	Y22
						Y13	Y23
	0.5	0.5				Y14	Y24
	0.5		0.5			Y15	Y25
		0.5	0.5			Y16	Y26
	0.5	0.25	0.25			Y17	Y27
	0.25	0.5	0.25			Y18	Y28
	0.25	0.25	0.5			Y19	Y29

4. Выбрать точки контрольных опытов для проверки адекватности модели. Эти точки (как правило не менее 3) целесообразно выбирать в областях, где предполагается наиболее сильное влияние независимых переменных. Если таких априорных сведений недостаточно, контрольные точки выбирают на максимальном расстоянии от точек плана.

После этой подготовительной работы проводят эксперимент, т.е. определяют значения Y1, Y2 и Y3. Зная величины последних рассчитывают коэффициенты b_i, что позволяет получить математические модели зависимости соответствующих свойств от кодовых значений температуры и времени нагрева под закалку.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Поставлена задача построить математическую модель влияния температуры и времени термообработки на механические свойства алюминиевого сплава, используя имеющиеся экспериментальные данные (см. варианты задания).

1. По имеющимся данным построить симплекс, отметив все точки плана и контрольные точки для проверки адекватности модели.

2. Построить соответствующую матрицу планирования в виде таблицы.

3. Используя программу СИМПЛЕКС рассчитать на ЭВМ значения коэффициентов математических моделей и построить соответствующие графические иллюстрации в виде линий равных значений.

4. Используя математическую модель и экспериментальные значения всех контрольных сплавов оценить адекватность построенных моделей для a=0.05 по t-критерию.

5. Используя математическую модель построить график зависимости заданных свойств Y от содержания одного компонента при постоянной концентрации другого компонента (см вариант задания)

.

4. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Привести таблицу, включающую исходные данные и кодовые значения параметров режима термообработки.

2. Привести симплекс для изучаемой системы с экспериментальными точками.

3 Привести значения рассчитанных коэффициентов и уравнения математических моделей зависимостей механических свойств от температуры и времени старения.

4. Привести рассчитанные значения для контрольных сплавов и результат оценки адекватности модели.

5. Привести график зависимости свойства от времени при постоянной температуре, построенный с помощью ЭВМ.

5. ЛИТЕРАТУРА

1. Ф.С. Новик. Планирование эксперимента на симплексе при изучении металлических систем. М.:Металлургия, 1985.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В каких случаях можно использовать симплекс для изучения зависимостей различных показателей от технологических параметров?

2. Как осуществляют перевод натуральных значений независимых

переменных в кодовые?

3. Как выбирают контрольные точки?

4. По каким критериям оценивают адекватность моделей?

5. В чем состоит целесообразность использования треугольных симплексов для оптимизация режима термообработки?

6. Как изменится предельное значение a при оценке адекватности по t-критерию, если дисперсия опыта S уменьшится?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N6

ПОСТРОЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СОСТАВ - СВОЙСТВО

МЕТОДОМ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

(2 ч)

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Освоить методику регрессионного анализа для построения линейных моделей зависимости свойств от нескольких факторов по имеющимся экспериментальным данным.

Ознакомится с использованием функции ЛИНЕЙН (LINEST) программы EXCEL.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Эксперимент считают ПАССИВНЫМ в том случае, когда исследователь не проводит запланированные опыты, а только наблюдает за неуправляемым процессом, т.е. фиксирует и обрабатывает получаемые результаты. Типичным примером может служить математическая обработка экспериментальных данных, приведенных в различных литературных источниках. Другим примером является анализ определенных свойств сплавов разных заводских плавок, на основании которого можно построить зависимости этих свойств от состава в

пределах марки сплава.

При пассивном эксперименте рассчитанные зависимости параметра оптимизации носят как правило достаточно частный характер и пригодны лишь для интерполяции, что схематически отражено на рис.6.1 для простейшего случая, когда рассматривается один фактор. Узкий диапазон изменения его не позволяет судить о том, насколько далеко заданная область факторов находится от оптимума, поскольку экстраполяция рассчитанных моделей в большинстве случаев дает неправильные результаты. Это является его главным недостатком. Преимущество данного метода состоит в его низкой стоимости и большом объеме экспериментальных данных, что повышает эффективность статистической обработки. Стимулирующим фактором более широкого использования пассивного эксперимента является быстрое развитие

компьютерной техники и программных средств с одной стороны и повышение стоимости "материального" эксперимента с другой. Особенно эффективно использование пассивного эксперимента при рассмотрении многих факторов, поскольку проведение классического эксперимента (экспериментальное изучение раздельного влияния факторов) в этом случае становится очень затруднительным и даже нереальным.

На первом этапе многофакторного эксперимента часто ограничиваются линейными регрессионными моделями:

Y =b₀ + åb_i X_i (6.1)

Для построения таких моделей необходимо знать значения всех k факторов (X₁₁, X₁₂,..X_1n; X₂₁, X₂₂,..X_2n;... X_k1, X_k2,..X_kn) параметра оптимизации (Y₁,Y₂, Y_n) для всех n опытов.

Для этого необходимо рассчитать соответствующие коэффициенты, что обычно делают методом наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в том, что коэффициенты b определяют из условия, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений Y от расчетных

f(X₁,X₂,...X_k) принимала минимальное значение, т.е.:

[Y -f?X,X,...X %] = min

В случае одной независимой переменной X₁, когда строят уравнения

Y = b₀ + X₁*b₁ (6.2)

коэффициенты b и b рассчитывают по следующим формулам:

b = [(åY_i)(åX_i)) - (åX_i)(åX_i Y­_i)] / [n å(X_i)) -(åX_i) ] (6.3)

b = [n-(åX_iY_i)(åX_i)(åY_i) / [n(å(X_i)-(åX_i)] (6.4)

где X_i и Y_i - известные значений независимой и зависимой переменных в i-том измерении, а n- число измерений.

Процедуру расчета коэффициентов можно существенно сократить если использовать программы для ЭВМ, например EXCEL. Для работы с этой программой предварительно необходимо составить матрицу исходных значений неизвестных (X) и известных (Y) параметров. Например, в случае нахождения регресионной зависимости какого-либо свойства (Y) от трех факторов (X₁,X₂ и X₃) по результатам n измерений исходная матрица имеет следующий вид:

X₁₁ X₂₁ X₃₁ Y₁

X₁₂ X₂₂ X₃₂ Y₂

...................

X_1n X_2n X_3n Y_n

Вводя данные значения в выбранные ячейки и выделяя их как матрицу, можно с помощью функции "ЛИНЕЙН"(LINEST) рассчитать не только значения коэффициентов линейной регрессии, но и их доверительные интервалы, а также другие статистические параметры.

В качестве примера на рис.6.1 показано размещение исходных значений X_ij и Y_i, рассчитанных значений b_i и дополнительных статистических параметров, а также вспомогательных надписей, облегчающих работу с шаблоном. Данный шаблон удобно использовать для решения однотипных задач, поскольку в этом случае все действия исследователя сводятся к введению новых значений в соответствующие ячейки.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Поставлена задача построить математическую модель влияния состава на заданные свойства алюминиевого сплава методом пассивного эксперимента, используя известные экспериментальные значения (см варианты задания).

1. Составить матрицу исходных значений заданных факторов и параметров оптимизации.

2. Используя программу "EXCEL" (функция "ЛИНЕЙН"), рассчитать коэффициенты регрессии модели и их доверительные интервалы.

3. По полученному регрессионному уравнению рассчитать значения свойства (Y) при заданном составе. Оценить адекватность расчетных значений по t-критерию.

4. Построить график зависимости свойства от содержания одного из компонентов при постоянном уровне остальных (см. вариант задания).

4. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Привести таблицу, включающую исходные данные, рассчитанные значения коэффициентов регрессии, их доверительные интервалы.

2. Привести уравнение регрессии.

3. Привести результат оценки адекватности линейных моделей.

4. Привести график влияния одного из компонентов на заданное свойство.

5. ЛИТЕРАТУРА

1. Румшиский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Наука, 1971, С.108-122, 124-125.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чем отличается активный эксперимент от пассивного?

2. Каковы преимущества пассивного эксперимента перед активным?

3. Какие недостатки пассивного эксперимента по сравнению с активным?

4. В чем заключается определение коэффициентов регрессионной модели методом наименьших квадратов?

5. Какие исходные данные необходимо иметь для построения регрессионной модели?

6. Как можно оценить адекватность регрессионной модели?

7. Как можно использовать регрессионные уравнения?

8. Можно ли рассчитать коэффициенты линейной регрессионной модели для 8 факторов по результатам 8 измерений?

9. Сколько степеней свободы имеет линейная регрессионная модель для 10 факторов при 15 измерениях?

РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
СПЛАВ АК5М2	Т6			Предел прочности, МПа
N	Si,%	Cu,%	Mg,%	Fe,%	экспер.	расчет	разница
	4.5	3.4	0.3	1.1		259.9517	2.048335
	4.9	3.2	0.5	0.8
	5.2	2.4	0.3	0.7
	5.8	2.6	0.4	0.9
	5.6	2.2	0.6
	5.3	1.8	0.7	0.5		358.9322	3.067838
	4.1	2.6	0.3	0.6
	5.1	2.8	0.4	0.7
	5.6	3.1	0.5	0.8
	4.8	2.7	0.6
		b4(Fe)	b3(Mg)	b2(Cu)	b1(Si)	b0
	значен.	2.251487	158.1986	-21.6007	3.113536	269.4469
	довер.	8.557026	11.44866	3.908479	2.904088	18.6936
коррел.	Y-довер	0.989899	4.032747	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
F-критер.	степ.св.	122.4968		#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
		7968.685	81.31525	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
		#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д	#Н/Д
		% Si	% Cu	% Mg	% Fe	Gb, Mpa
		6.5	3.4	0.8	1.3	357.4361

Рис.6.1. Шаблон для расчета множественной регрессионных линейных моделей.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N7

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБЪЕМНЫХ ДОЛЕЙ В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СПЛАВАХ

(2 ч)

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомиться с принципом расчета объемных (Q_V) и массовых (Q_M) долей в многокомпонентных сплавах с использованием матриц.

Освоить расчет Q_V и Q_M для заданного четверного сплава в программе EXCEL.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Экспериментальное определение объемных долей фаз (Q_V), в частности методом линейного металлографического анализа, является трудоемкой работой даже для двухфазных сплавов, поскольку удовлетворительная точность достигается при достаточно большом числе измерений. При переходе к многофазным сплавам эта задача существенно усложняется, так как идентификация фаз требует не только качественного шлифа, но и высокой квалификации исследователя. Если размер частиц близок или меньше предельной разрешающей способности светового микроскопа, то экспериментальное определение объемной доли фаз традиционными методами становится невозможным. В связи с этим большой практический интерес представляют различные расчетные способы оценки значений Q_V.

В тройных системах определить относительные массовые количества фаз (Q_M) в трехфазных сплавах при заданной температуре можно с помощью измерения отрезков на соответствующих изотермических сечениях диаграмм состояния, используя правило центра тяжести треугольника. Этот метод имеет два существенных недостатка:

1- низкая точность оценки Q_M, которая в значительной мере определяется качеством рисунка;

2- практическая невозможность использовать этот метод для сплавов с большим числом компонентов.

Более удобными являются чисто расчетные методы, которые не требуют наличия точных изображений изотермических сечений диаграмм состояния. Применительно к N-компонентным сплавам, содержащим N фаз для решения этой задачи достаточно знать состав сплава и концентрации компонентов во всех фазах при заданной температуре. Последние значения часто можно получить из справочной литературы. В

этом случае используется свойство многокомпонентных сплавов, из которого следует постоянство состава всех фаз независимо от состава сплава. Рассчитать относительные массовые количества фаз можно решением системы N линейных уравнений баланса, в которых концентрация каждого компонента в сплаве (X_i) определяется как сумма произведений концентраций этого компонента в каждой фазе (Y_ij) на массовую долю (Q_Mi) данной фазы:

Y₁₁ Q_M1 + Y₁₂ Q_M2 +...+ Y_1N Q_MN = X₁

Y₂₁ Q_M1 + Y₂₂ Q_M2 +...+ Y_2N Q_MN = X₂

..................................

Y_N1 Q_M1 + Y_N2 Q_M2 +...+ Y_NN Q_MN = X_N (7.2)

Поскольку из N концентраций независимыми являются только N-1, а сумма массовых долей всех фаз равна 1 (или 100%) для определения искомых значений QM можно воспользоваться более удобной системой N линейных уравнений по сравнению с (7.1):

Y₁₁ Q_M1 + Y₁₂ Q_M2 +...+ Y_1N Q_MN = X₁

Y₂₁ Q_M2 + Y₂₂ Q_M2 +...+ Y_2N Q_MN = X₂

..................................

Y_N-1;1 Q_M1 + Y_N-1;2 Q_M2 +...+ Y_{N-1;N QMN} = X_N (7.2)

Q_M1 + Q_M2 +.....+ Q_MN = 1

В общем случае решение системы линейных уравнений с N неизвестными находится через определители N-го порядка. Для рассматриваемой системы (7.2) матрица главного определителя имеет следующий вид:

Y₁₁ Y₁₂......... Y_1N

Y₂₁ Y₂₂..........Y_2N

D=.................................. (7.3)

Y_N1 Y_N2........ Y_NN

Частные определители D_1, D₂....D_N получаются из D заменой элементов соответствующего столбца свободными членами (X₁, X₂,....X_N,1). Вычислив определители легко рассчитать искомые значения Q_M:

Q_M = D /D (7.4)

Для нахождения объемных долей необходимо знать кроме Q_M

плотности всех фаз (r_i):

Q_Vi =(Q_Mi /r₁)/ (Q_M1 / r₁ + Q_M2 / r₂ +.....Q_MN / r_N) (7.5)

Поскольку ручное вычисление определителей высоких порядков слишком трудоемкая работа, целесообразно использовать специальные программы для ЭВМ, которые позволяют проводить основные операции с матрицами. В частности, программа EXCEL делает возможным сделать шаблоны, с помощью которых легко рассчитывать для любого сплава, вводя исходные значения концентраций (X_i и Y_ij) и плотностей (r_i): в определенные ячейки и получая результат в других ячейках. Более того, по сделанному для какой-либо системы шаблону можно легко создать новый шаблон для другой системы.

Очевидно, что чем сложнее система, тем больше целесообразность использования рассмотренного метода расчета объемных и массовых долей. Поскольку наличие хотя бы одного отрицательного значения Q_M (или Q_V) говорит о том, что данный сплав не может иметь заданный фазовый состав, данный шаблон удобно использовать для определения границ соответствующей фазовой области в любом направлении.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Известно, что структу расплава четверной системы Al-Si-Cu-Mg в закаленном (с 500 ⁰С) состоянии содержит алюминиевый твердый раствора (Al)-1, кремниевый твердый раствор (Si)-2 и промежуточные фазы CuAl₂-3 и W(CuMgSiAl)-4. Соответствующие значения их массовых долей даны в табл.7.1.

1. Используя исходные данные, составить все необходимые уравнения и матрицы определителей и с помощью программы EXCEL рассчитать значения последних. Далее рассчитать значения массовых и объемных долей всех фаз в заданном сплаве.

2. Используя готовый шаблон для программы EXCEL построить график влияния массовой доли одного из компонентов на величину Q_Vдной из фаз в пределах 4 фазной области (см. вариант задания).

Примеры размещения исходных и искомых значений в ячейках рабочего листа EXCEL показан на рис.7.1.

4. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА

1. Привести таблицу, включающую исходные данные и рассчитанные значения объемных и массовых долей фаз в заданном сплаве.

2. Привести систему линейных уравнений и матрицы всех определителей, которые необходимы для расчета искомых значений.

3. Привести график влияния массовой доли заданного компонента на величину QV заданной фазы.

Таблица 7.1

Исходные данные для определения массовых и объемных долей фаз в системе Al-Si-Mg-Cu (фазовая область (Al)-(Si)-CuAl2-W)

Компоненты	Концентрации в фазах и сплаве^* мас.%
	Ф1	Ф2	Ф3	Ф4	Сплав^**
Si,		0,05	0,05	0,05
Cu,		0,05		19,2
Mg,	0,4	0,05	0,05
плотность, г/см^3	2,7	2,6	4,3	2,8
QM, мас.%	?	?	?	?
QV, об.%	?	?	?	?

^*стальное алюминий; ^** см. варианты заданий

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие недостатки расчетно-графического определения относительных массовых долей?

2. Что может означать отрицательное расчетное значение массовой

доли какой-либо фазы?

3. Как можно проверить правильность расчета объемных долей фаз?

4. Напишите систему уравнений, которую необходимо решить для расчета значений Q_M и Q_V трехфазного сплава трехкомпонентной системы.

Дата добавления: 2015-09-02