Мультипликативная инверсия

В Z_n два числа a и b мультипликативно инверсны друг другу, если

Например, если модуль равен 10, то мультипликативная инверсия 3 есть 7. Другими словами, мы имеем .

В модульной арифметике целое число может или не может иметь мультипликативную инверсию. Целое число и его мультипликативная инверсия сравнимы с 1 по модулю n.

Может быть доказано, что a имеет мультипликативную инверсию в Z_n, если только НОД(n, a) = 1. В этом случае говорят, что a и n взаимно простые.

Пример 1

Найти мультипликативную инверсию 8 в Z₁₀.

Решение

Мультипликативная инверсия не существует, потому что . Тоесть нельзя найти число между 0 и 9, такое, что при умножении на 8 результат сравним с 1 по mod 10.

Пример 2

Найти все мультипликативные инверсии в Z₁₀.

Решение

Есть только три пары, удовлетворяющие условиям существования мультипликативной инверсии: (1, 1), (3, 7) и (9, 9). Числа 0, 2, 4, 5, 6 и 8 не имеют мультипликативной инверсии.

Мы можем проверить, что

(1 x 1) mod 10 = 1 (3 x 7) mod 10 = 1 (9 x 9) mod 10 = 1

12.Шифрование симметричными ключами использует единственный ключ и для кодирования и для дешифрования. Кроме того, алгоритмы шифрования и дешифрования — инверсии друг друга.

Дата добавления: 2015-09-05