Читайте также:
|
|
Отличие этой теории от прежних теорий заключается в том, что при определении осевой силы давления потока на ветроколесо импульс сил подсчитывается по вихревому соленоиду в том месте, где он принял уже установившуюся цилиндрическую форму, а не в момент его образования, как принималось прежними теориями. Так как соленоид в цилиндрической части имеет площадь сечения большую, чем площадь, ометаемая ветроколесом, то осевая сила и коэффициент использования энергии ветра, по теории Г.X. Сабинина, получаются несколько большими.
Как следствие принятых условий для определения идеального ветряка получаем следующее: осевые скорости постоянны по всему сечению струи, что вытекает из вихревой теории гребного винта Н.Е. Жуковского: циркуляция по любому замкнутому контуру внутри уходящей струи равна нулю, и, следовательно, поток не завихрен и тангенциальные скорости равны нулю. Циркуляция в плоскости вращения ветряка равна нулю, и есть только скачок давления. Концевые потери также равны нулю, так как они обратно пропорциональны числу лопастей и угловой скорости вращения.
Пусть равномерный поток, обладающий скоростью V, набегает на ветряк, как было показано на рис.1. Проведём через окружность, описываемую концами лопастей, линии тока, образующие бутылеобразную поверхность АА'ВВ'СС', которую назовём «ограничивающей поверхностью».
Рис. 2. Образование вихревого соленоида за ветроколесом скорости,
вызванные соленоидом, будут направлены в обратную сторону
по отношению к скорости потока.
По мере удаления от ветряка, ограничивающая поверхность постепенно переходит в цилиндрическую поверхность. Часть потока, заключённая внутри ограничивающей поверхности, называется рабочим потоком. Ограничивающая поверхность ВВ'СС', лежащая позади ветряка, представляет собой поверхность раздела, образованную бесконечно тонким вихревым слоем, состоящим из ряда вихревых шнуров бесконечно малой интенсивности, сходящих с концов лопастей и навитых в виде спирали с бесконечно малым шагом на поверхность раздела (рис. 2). Таким образом, поверхность раздела будет представлять собой вихревой соленоид. Вихревой слой соленоида можно себе схематически представить состоящим из ряда вихревых шнуров, диаметр которых равен толщине вихревого слоя. Окружная скорость наружных частиц такого вихря близка к скорости прилегающего к нему не завихренного слоя. Скорости к центру вихря убывают, ибо мы можем представить, что вихрь вращается, как твёрдое тело.
Такой бесконечно тонкий, вихревой слой не требует на своё образование энергии так как его живая сила бесконечно мала вследствие бесконечно малой массы слоя, в то время как максимальные его скорости конечны. Предполагая, что вихревой соленоид при достаточном удалении от ветряка принимает цилиндрическую форму и в таком виде уходит в бесконечность, получаем, что струи как внутри соленоида, так и вне его идут параллельно и давления во всех точках потока, достаточно удалённых от ветряка, постоянны.
Деформация потока, производимая идеальным ветряком, будет сводиться к наложению скоростей, вызываемых вихревым соленоидом на равномерный поток, причём приращение количества движения жидкости, производимое ветряком, будет равно количеству движения, вызываемого вновь образуемой цилиндрической частью соленоида.
На рис.3 приведена схема прохождения воздушного потока через ветроколесо. В сечении А – А', бесконечно далеко перед ветряком, поток имеет скорость V и поверхность S. В сечении В – В',в плоскости ветроколеса, осевая скорость потока равна V – v1 где v1 – скорость, вызываемая вихревым соленоидом на его конце; ометаемая поверхность – S1. В сечении С – С', бесконечно далеко за ветряком, скорость в цилиндрической части соленоида составляет V – v2, где v2 — скорость, вызываемая соленоидом, в достаточном удалении от ветряка. Скорость потока вне цилиндрический части соленоида будет V, так как соленоид во внешнем потоке не вызывает никаких скоростей.
Рис. 3. Схема прохождения воздушного потока через ветроколесо.
Скорость движения самого бесконечно длинного вихревого соленоида относительно потока проф. Г.X. Сабинин принимает равной половине скорости, вызванной соленоидом внутри его, именно равной v2/2. Так как соленоид уносится потоком со скоростью V, то, следовательно, абсолютная его скорость будет – (V-v2)/2; это будет скорость образования вихревого соленоида.
Определим циркуляцию скорости вихревого соленоида на единицу его длины, для чего опишем прямоугольный контур abcd так, чтобы его стороны ab и cd были параллельны оси струи, а стороны bс и da перпендикулярны к ней (рис. 3). Обходя контур по направлению часовой стрелки, имеем: циркуляция по стороне ab, будет ab (V – v2),так как скорость V – v2 параллельна ab. Циркуляция по cd будет cd×V; циркуляция по сторонам bс и da равна нулю, так как эти стороны перпендикулярны к скоростям V и V–v2 циркуляция же в том месте, где эти стороны пересекают вихревой соленоид, также равна нулю, так как вихревой слой бесконечно тонок, а окружная скорость вращения частиц вихревого слоя конечна. Циркуляция по всему контуру будет: ab×(V – v2) – cd×V, так как ab = cd, то циркуляция по контуру abcd равна: – ab×v2.
Циркуляция на единицу длины соленоида: (а)
Подсчитаем импульс силы, потребной для образования вихревого соленоида, для чего воспользуемся следующей теоремой. Импульс силы PDt, необходимый для образования вихревого кольца, равен площади вихревого кольца S, умноженной на циркуляцию скорости Г вокруг вихря и умноженной на плотность жидкости r: PDt = rSГ. (б) Здесь импульс силы направлен по нормали к плоскости вихревого кольца.
Если разбить соленоид на элементарные кольца с протяжением по оси соленоида dz, то на единицу длины соленоида придётся 1/dz вихревых колец.
Импульс силы для образования одного вихревого кольца соленоида составляет: rS2 dГ, (в) где dГ – циркуляция скорости одного кольца; S 2 – площадь сечения цилиндрической части соленоида. Так как за время dt длина соленоида увеличивается на величину , то за этот промежуток времени образуется число колец: (г)
Импульс силы на ветряк за время dt будет численно равен сумме импульсов, необходимых для образования вихревых колец, появившихся в то же время. Эта сумма на основании уравнений (в) и (г) составит: (д). Перепишем это уравнение в таком виде: (е), но – циркуляция скорости на единицу длины соленоида, которая, согласно уравнению (а), равна – v2. Поэтому, сокращая уравнение (е) на dt и подставляя в него вместо Г его значение –v2, получим: Преобразуем это уравнение, представив его в виде двух слагаемых: (1)
Выражение, стоящее в квадратных скобках первого члена правой части уравнения, есть масса воздуха, проходящая через ометаемую площадь в единицу времени, а весь первый член, т.е. [pS2(V–v2)]v2, есть приращение количества движения этой массы, которую обозначим через m1. Второй член по своей размерности есть то же приращение количества движения в единицу времени. Он не может быть разбит на два множителя так, чтобы одному множителю соответствовала определённая масса жидкости, а другому некоторая скорость, одинаковая для всех частиц этой массы, так как нам пока неизвестен тот процесс, в котором происходит образование количества движения, имеющего выражение .
Для удобства дальнейших рассуждений умножим и разделим это выражение, т.е. второй член равенства (1), на v2: (2)
Дробь, стоящая в квадратных скобках, не может быть сокращена на v2, так как числитель этой дроби по своей физической сущности представляет интеграл: , где закон образования функции m и v нам не известен. Выражение называется присоединённой массой и обозначается через m2. Заметим, что rS2(V – v2) = m1. После чего уравнение (2 70а) можно переписать так: – P = (m1 + m2)v2 (3)
Сумма (m1 + m2)называется увлечённой массой, а скорость v2 называется скоростью влечения. Таким образом, уравнение (3 71) можно формулировать так: лобовое давление, производимое потоком на ветряк, будет равно произведению увлечённой массы на скорость влечения, с обратным знаком. Схема образования присоединённой массы m2 показана на рис.4. Частицы воздушного потока, лежавшие в начальный момент в плоскости вращения ветряка АА и расположенные вне влияния ветряка,
Рис. 4. Образование присоединённой массы.
за некоторый промежуток времени Dt передвинутся на расстояние V×Dt и займут положение А'А'. Частицы воздуха, лежащие в начальный момент внутри ометаемой площади и представляющие начало струи, прошедшей через ветряк, за время Dt пройдут расстояние (V – v2)×Dt и займут положение СС. Вихревой же соленоид в эту минуту будет простираться от ветряка до сечения вв, имея длину .
Таким образом, длина соленоида, образовавшегося за время Dt, будет на больше длины колонны жидкости, прошедшей через ветряк. Часть соленоида cc–вв будет заполнена воздухом, засосанным соленоидом с конца вв. Эта масса воздуха и будет присоединённой массой.
Действительно, приращение количества движения массы за время Dt мы можем выразить так: . Отнеся к единице времени, получим: , где выражение в квадратных скобках есть масса воздуха, заключённая в отрезе соленоида ее–вв и v2 – приращение скорости этой массы, или скорость влечения.
Слой жидкости с кольцеобразным сечением, заключённый между поверхностями ommccnn и аавв, заштрихованный косыми линиями и образующий как бы стенки бутыли, идёт на образование присоединённой массы. В действительности явление происходит не так просто: соленоид при своём движении будет распадаться на отдельные вихревые кольца, которые постепенно будут гаснуть, но количество движения, вызванное ими, будет сохраняться.
Напишем баланс энергии воздуха, протекающего через ветроколесо за одну секунду. Энергия, подводимая потоком, равна:
Энергия воспринятая ветряком: P(V – v1).
Энергия, уносимая потоком в виде кинетической энергии:
Потери, связанные с образованием присоединённой массы, подсчитанные по скорости влечения:
Уравнение баланса энергий получает следующий вид: (а)
Подставив в уравнение (а) значение P = (m1+m2)v2и разделив на (m1+m2), получим:
(б)
Исключим из уравнения (б) ml и m2, подставив их значения: m1 = rS2 (V – v2) и
или: (в)
Решая уравнение (в) относительно v2 найдём: (4) Это первая скоростная зависимость, отличающаяся от аналогичной в классической теории.
Напишем уравнение расхода, предполагая, что на ветряк, стоящий на одном месте, набегает поток со скоростью V (рис. 1): SV = S1(V – v1) = S2(V – v2),
откуда: и
Подставляя сюда из уравнения (4) значение v 2 /V, получим: (5)
Складывая выражения (а) и (б), получим: (6) т. е. ометаемая площадь есть средняя арифметическая из площадей рабочей струи перед и позади ветряка.
Определение величины увлечённой массы (m1 + m2)даётся теоремой: увлечённая ветряком или решёткой масса жидкости не зависит от режима ветряка и проницаемости решётки и равна объёму, описываемому в потоке ометаемой площадью, умноженному на плотность жидкости.
Воспользуемся уравнением (3), деля его обе части на v2, и заменим m1 и m2 их значением:
Подставляя сюда значение v2 из уравнения (4) и S2 из уравнения (5), получим:
по сокращении получаем: m1 + m2 = rS1V = Const. (7)
Лобовое давление на ветряк получаем из уравнения (3), подставив в него значение m1+m2 из уравнения (7): P = (m1 + m2)v2 = rS1Vv2 (8)
Нагрузка на ометаемую площадь: (9) или: . Подставляя сюда v2 из уравнения (4), получаем: , где
следовательно: (10) Принимая во внимание уравнение (9), получим лобовое давление Р равным: (11)
Мощность на валу ветряка, согласно уравнению, равна: T = P(V – v1). Подставив сюда значение Риз равенства (11),получим:
Коэффициент использования энергии ветра равен: (12)
по сокращении или (13)
Приравняв нулю первую производную выражения (12), получим:
откуда: e = – 1 + = 0,414, т. е. максимум x получается,
когда , а не 0,333, как это было получено в классической теории.
Подставляя значение е в уравнение (12), получим: (14)
При этом нагрузка на сметаемую поверхность составляет: (15)
В таблице 5 приведены для сравнения характерные величины идеального ветроколеса, полученные по классической теории П.Е. Жуковского и по теории Г.X. Сабинина.
Таблица 5
Полная потерянная скорость ветра за ветроколесом | Коэффициент нагрузки на ометаемую площадь В1 | Коэффициент торможения воздушного потока v1/V при x mах | Нагрузка В при x mах | Максимальный коэффициент использования энергии ветра x mах | |
Классическая теория | v2 = 2vl | 4v 1 /V (1+v 1 /V) | 0,333 | 0,888 | 0,593 |
Теория Г.X. Сабинина | v2= 2v1/(1+ v1/V) | 4v1/V (1+v 1 /V) | 0,414 | 1,172 | 0,687 |
Для сравнения обеих теорий на рис. 5 показана зависимость x в функции
В заключение приведём основные положения классической теории и теории проф. Г.X. Сабинина.
1. По классической теории потеря скорости ветра за ветряком равна удвоенной потере скорости ветра в
плоскости ветряка, т.е. v2 = 2vl. По теории Г. X. Сабинина, это же уменьшение скорости ветра за ветряком выражается соотношением:
2. Осевое давление по классической теории: Р = m1v2, где m1 = Sl (V – v1). По теории проф. Сабинина, кроме массы воздуха, протекающей через ометаемую поверхность ветроколеса, принимается во внимание масса воздуха m2, засосанная внутрь вихревого соленоида из окружающего его потока.
Осевое давление равно: Р = (m1 + m2) v2; при этом увлечённая ветряком масса
равна: m1 + m2 = rS1V = сonst.
Практически нельзя построить ветряк с бесконечно большим числом лопастей, делающим бесконечно большое число оборотов и работающим без потерь, как это было сказано в определении идеального ветряка. В действительности нам приходится иметь дело с реальным ветряком, который имеет конечное число лопастей (от 1 до 24), делает конечное число оборотов и работает с потерями.
Дата добавления: 2015-08-03; просмотров: 90 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОГО ВЕТРЯКА | | | Альфред Хичкок представляет |