Метод простых итераций

Метод простых итераций предназначен для нахождения корня функционального уравнения вида:

x = ϕ (x). (15)

Уравнение вида f (x) = 0 всегда можно преобразовать к виду (15)

Действительно, умножим левую и правую части уравнения f (x) = 0 на некоторый коэффициент с. Полученное уравнение с*f (x) = 0 очевидно имеет те же корни, что и исходное уравнение f (x) = 0. Теперь, добавив х к левой и правой части, получим уравнение х+ с*f (x) = х, корни которого опять те же, что и у исходного уравнения f (x) = 0.Обозначив х + с*f (x) = ϕ (x), мы придем к уравнению (15). Коэффициент с следует выбирать так, чтобы во всех точках отрезка [ a, b ] соблюдалось неравенство:

│ϕ ’(x) │< 0,5. (16)

Следует заметить, что для тех вариантов расчетного задания, в которых предполагается применение метода простых итераций, в таблице вариантов задана f (x) такого вида, что переход к уравнению вида (15) элементарен (достаточно разрешить уравнение f (x) = 0 относительно x).

Метод простых итераций подобно методу Ньютона предполагает применение одного начального приближения. Перед первой итерацией значение начального приближения xn может быть получено, как и в методе Ньютона, по формуле xn = (a+b)/2.. Следующее приближение получают по правилу:

xs = ϕ (xn). (17)

После вычисления приближения xs заменим значение начального приближения xn на значение только что полученного приближения xs и выполним следующую итерацию.

Можно доказать, что при выполнении условия (16) метод простых итераций сходится, а требуемая точность будет достигнута, если после вычисления xs при очередной итерации соблюдается условие (3). При выполнении неравенства (3) итерационный процесс уточнения приближенного значения корня следует прекратить и в качестве искомого приближенного значения корня xw взять последнее полученное значение xs. При разработке алгоритма вычисления корня по методу простых итераций следует использовать формулы (5), (17), (3).

Дата добавления: 2015-08-02