3.1. Разобрать решение задач, заполнив пропуски
|
Задача1. На отрезке единичной длины случайным образом появляется точка. Найти вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка больше .
Решение.
По условию задачи искомому событию удовлетворяют все точки, появляющиеся на интервале . См. Рис.6.
Его длина . Длина всего отрезка .
Значит, искомая вероятность .
|
Задача 2.В круг радиуса наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.
Решение.
|
Мерой множества возможных исходов является площадь круга: .
Мерой множества благоприятных исходов – разность площадей круга и треугольника .
Площадь треугольника, вписанного в круг, находится по формуле: .
|
|
Задача 3.На отрезке наудачу выбраны два числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .
Решение.
|
По условию задачи координаты точки удовлетворяют системе неравенств . Это означает, что точка наудачу выбирается из множества точек квадрата, длина стороны которого равна 2.
Точки квадрата, координаты которых удовлетворяют неравенствам , принадлежат фигуре, закрашенной на рис.7.
Мерой множества возможных исходов является площадь квадрата: .
Мерой множества благоприятных исходов – площадь закрашенной фигуры: .
|
|
Задача 4. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки: и , причем . Найти вероятность того, что длина отрезка окажется меньше, чем . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.
Решение.
|
Координаты точек и должны удовлетворять неравенствам .
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат.
В этой системе указанным неравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей заштрихованному прямоугольному треугольнику. Длина отрезка должна быть меньше, чем , т.е. должно иметь место неравенство . Это неравенство выполняется для точек, которые лежат в закрашенной трапеции (рис.8).
Мерой множества возможных исходов является площадь заштрихованного прямоугольного треугольника: .
а мерой множества благоприятных исходов – площадь закрашенной трапеции: .
|
|
Задача 5. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. Найти вероятность того, что точка попадет в куб.
Решение.
|
Введем обозначения – радиус шара, – ребро куба.
В этом случае мерой множества возможных исходов является объем шара: ,
а мерой множества благоприятных исходов – объем вписанного куба: .
|
|
Задача 6. Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше можно построить треугольник?
Решение.
|
Обозначим длины этих отрезков через . Из условия задачи следует, что .
Обозначим через множество точек с координатами для которых выполняются данные неравенства, т. е. – куб с ребром .
Исходя из условия задачи и учитывая введенные обозначения, получается, что эксперимент состоит во взятии наудачу трех отрезков, длины которых . Мы его отождествим с экспериментом, состоящим во взятии точки из куба .
Чтобы построить из этих трех отрезков треугольник, необходимо выполнение условий .
Эти неравенства определяют тело (рис.9), которое получается отбрасыванием от куба трех тетраэдров, отсекаемых плоскостями .
Итак, в нашем случае мерой множества возможных исходов является объем куба с ребром : ,
а мерой множества благоприятных исходов — объем тела : .
Дата добавления: 2015-08-10; просмотров: 628 | Нарушение авторских прав
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)
|