Следует признать: алгебра, вошедшая в школу, позволяла решать многие задачи быстрей, как бы механически: стоило только верно выбрать неизвестное и правильно составить уравнение.

Такое нововведение, казалось, является волшебной палочкой, мигом снимавшей все трудности начальной школы. О такой палочке мечтали все, далеко не один Алексей Иванович. И не его вина, что он первым решился протянуть к ней руку, не ожидая, что волшебство обожжет так больно.

Вместе с появлением элементов алгебры сразу же оказалось, что многие учащиеся не в силах определить, какую же величину нужно обозначить через х, и делают это во многом наугад. Действительно, выбор величины, которую будем считать неизвестной, основывается на соображениях целесообразности, до которых ребятам еще надо дорасти.

Ученик IV класса часто не понимал, почему, например, сегодня нельзя обозначать через х число коробок конфет, если вчера учительница Мария Ивановна разрешала это делать. Такое соображение, что вчера искали число коробок конфет, а сегодня разыскиваем число пройденных поездом километров в опыте ученика ранее не встречалось, поэтому в его представления о целесообразности не входило.

Еще хуже дело обстояло, когда выбор неизвестной оказывался неудачным. Тогда надо отказаться от обозначения через х выбранной величины и обозначить через х другую величину. Психологически такой путь сродни выбору верной версии при расследовании какого-либо происшествия. Один следователь как-то говорил мне, что самые большие муки он испытывает, когда под давлением фактов вынужден отказаться от выбранной версии и искать другую. Учителя же, сами того не ведая, оставляли ребят один на один с сильными стрессами.

Одна из грубейших ошибок Реформы, по моему мнению, состояла в недооценке роли начальной школы. Даже число лет, отводимых на обучение в начальной школе, одно время пытались сократить до трех. И сокращали. У детей отбирали то уроки домоводства, то труда, то рисования. А между тем этого нельзя было делать. Когда дети ковыряются иголкой с ниткой, режут что-то ножницами или наоборот, что-то склеивают, у них развивается способность выполнять точные движения, а вместе с этими ручными манипуляциями начинают и «шарики с роликами» двигаться быстрее в голове. Иными словами, мелкая моторика пробуждает сознание. Причем это пробуждение тем эффективнее, чем больше учащиеся сочетают действия физические с действиями умственными. Поэтому ни в коем случае нельзя отрывать, допустим, уроки труда от уроков математики, уроки по эстетике от уроков русского языка и т.д. Сложившееся сочетание уроков в начальной школе нельзя было нарушать. А его нарушали не раз и самым решительным образом. Допускалось даже «перепрыгывание» из класса в класс. Допустим, дети учились в четвертом классе, а на следующий учебный год оказывались уже в шестом. Дело доходило до того, что ни дети, ни учителя не могли толком ответить, какая же возрастная группа в каком классе учится.

Деятели народного образования, ратовавшие за Реформу, были людьми гениальными. Они осознавали свою гениальность, поэтому ничего не хотели знать о своих предшественниках, не уважали их достижений, которыми гордилась вся Россия. А ведь эти предшественники в своё время разработали и теорию, и практику русской начальной школы. В число учителей начальной школы входили такие личности, как писатель Лев Толстой, руководивший начальной школой, которую он создал в своем имении, педагог Петр Гурьев, разработавший теорию концентрического обучения. Следует упомянуть также профессора Московского университета С.А. Рачинского, который сначала преподавал в начальной школе в своем имении (где придумал много приемов устного счета), а потом стал организатором многих уездных сельских школ. (Он изображен на известной картине «Устный счет», которую написал его ученик, художник Богданов-Бельский.) Можно назвать и еще ряд выдающихся личностей России, оставивших нам богатейшее творческое наследие. Наша задача состояла только в том, чтобы этим наследием воспользоваться. Но мы и этого не сумели, занявшись революционной ломкой всех и вся.

Реформа осложнялась еще и тем, что, приняв решение о необходимости нововведений в школе, ЦК КПСС и правительство страны стали, как всегда, торопить с ее осуществлением. Авторам учебников были поставлены очень жесткие сроки, причем никаких грантов на написание учебных книг никто никому не давал. Чудное слово «грант» и в языке-то нашем появилось совсем недавно. Авторы учебников работали урывками, по субботам и воскресеньям, часто на свой страх и риск. Серьезные дяди, писавшие учебники тех лет, из далекой исторической перспективы кажутся энтузиастами-комсомолятами, спешившими отрапортовать об очередном рекорде («Даешь пятилетку в четыре года!»). Так и получилось: «Даешь начальную школу в три года»! Перекраивали, сужали, расширяли начальную школу, не понимая, что нарушают самые важные, самые главные законы – законы развития человеческой психики.

Но все трудности начальной школы показались цветочками, когда началось реформирование содержания образования в средней школе. А началось оно с введения понятия «множество» и с установления того, принадлежит ли данный элемент конкретному множеству или не принадлежит.

Всё было легко, пока говорили о конечных множествах. Однако скоро перешли к бесконечным и стали трактовать геометрические фигуры как бесконечные множества точек. Но тут оказалось, что детское сознание понятие бесконечности просто выталкивает. («Как это отрезок может состоять из бесконечного множества точек, когда я ясно вижу оба его конца?»). Ведь предупреждал же Пиаже, что детское сознание эгоцентрично («Нет никакой бесконечности, ведь Я же его никогда не видел», «Зачем вы мне говорите, что эти две прямые параллельны, а Я вот проведу их так, что они пересекутся»). Психологи говорили также, что сознание подростков метафизично. Например, в отрезке ученики прежде всего видят концы, а прямую или луч им представить гораздо труднее.

Но кто же слушал психологов в начале реформы!? О Пиаже в школе вообще не знали. С тем, что есть какие-то психологические барьеры, никто считаться не хотел. Казалось, что все взрослые, если возьмутся за дело вместе, легко сделают то, чего хочет Самый Главный Взрослый.

Итак, в школьный курс математики ворвались бесконечные множества! А вместе с ними появились и парадоксы бесконечных множеств. Методисты уделяли много внимания этому вопросу, забивая голову учащимся тем, о чем думать им было совершенно рано. Вместо нормального изучения теорем и задач элементарной геометрии мы стали нагружать учащихся записями типа таких: А = [ a, b ] Ç { A, C }È{ A, D, F }. И лучше было не ошибаться в форме и повороте скобок! Грубой ошибкой считалось, если скобка, которая должна была «замыкать» отрезок, его «размыкала», например, если было написано x Î [ a, b [, а на самом деле надо было писать x Î[ a, b ].

Хорошо помню, как после письменного экзамена я собственноручно исправляла подобную ошибку в работе своей лучшей ученицы, чтобы она получила за экзаменационную работу 5 баллов, а не 4 балла. Потом целый год, до следующего экзамена, мучилась угрызениями совести. А на следующем экзамене увидела, как мои коллеги десятками исправляют в экзаменационных письменных работах своих учеников подобные ошибки. Все уже тогда понимали, что формальные записи просто подменяют трудности настоящих школьных задач сложностями мелочного копания в особенностях теоретико-множественного языка. Но без множеств вполне можно обойтись как в школьной алгебре, так и в геометрии.

На одном из семинаров в присутствии Колмогорова кто-то из учителей обмолвился о строгости доказательства какой-то теоремы в ученике Киселева. А доказательство начиналось с того, что один из концов основания трапеции соединялся с серединой боковой стороны трапеции.

Колмогоров высмеял такое представление о строгости, сказав, что из него никак не видно, каким же образом нашли середину боковой стороны трапеции.

Начав преподавать геометрию в VI классе по колмогоровскому учебнику, я вдруг обнаружила, что не знаю… родную речь. Нельзя было сказать, что два отрезка равны, поскольку равными могут быть только числа, а не геометрические фигуры. Те отрезки, которые совпадали при наложении, надо было называть конгруэнтными. Произношение этого слова шло вразрез с фонетическими нормами славянского языка, и это обстоятельство сразу сделало многих родителей врагами того, что преподают детям в школе. Несчастная конгруэнтность быстро превратилась в жупел, которым пугали малограмотных пап и мам. В те годы вышла даже книжка В.Г. Болтянского и Г.Г. Левитаса со знаменательным названием: «Математика атакует родителей».

Но были моменты и похуже. Помню, как однажды я спросила у Р.С. Черкасова, скрывая робость: «Что такое радиус?» При этом кто-то прыснул со смеху за моей спиной, а он мгновенно понял меня и ответил быстро, серьезно и сочувственно: «Радиус – это и величина, и геометрическая фигура». Отсюда следует, что можно было написать: «радиус равен 5 см», но надо было писать: «Радиус одной окружности конгруэнтен радиусу другой окружности». В самом деле, в первом случае речь шла о величинах, а во втором – о геометрических фигурах. Но надо же было как-то выплывать из этих постоянных тонких различий, которые мешали сформулировать даже простую задачу. Поэтому приходилось постоянно пользоваться «вольностями речи», вроде того, что допускался в термине «радиус».

Первым учебником по геометрии дл 6 класса был учебник, написанный авторским коллективом, в который вошли Ф.Ф. Нагибин, А.Д. Семушин и Р.С. Черкасов. Руководил коллективом А.Н. Колмогоров. Он очень интересовался этим изданием и даже в некоторых случаях сам вписывал формулы в типографскую рукопись. Когда книга была готова, титульный редактор решил показать ее своему ближайшему родственнику – математику. Этим математиком оказался его пасынок, профессор МГУ Олег Сергеевич Ивашев-Мусатов. Прочитав учебник, Олег Сергеевич не стал кривить душой, а честно высказал Андрею Николаевичу свой приговор: «Это в школе не пойдет». В результате два достойных человека поссорились так, что не захотели общаться друг с другом до самой смерти Андрея Николаевича.

Учебник, о котором только что шла речь, назывался «Геометрия 6» (1972). Он вызвал в школе настоящий шок и был страшно труден и для учителей, и для учащихся. Действительно, новый учебник отмел восходящие еще к Евклиду признаки равенства треугольников (ну, конечно, не исключил совсем, а принизил их значимость). Признаки с успехом заменяли рассуждения о перемещениях. Если при перемещении сохраняются расстояния и углы, то достаточно просто найти нужное перемещение, чтобы «уложить» треугольники друг на друга так, чтобы все их точки совпали. Установлением нужного перемещения и доказывалась конгруэнтность фигур. А устанавливать конгруэнтность элементов фигур вообще не было надобности, раз уж они друг на друга наложились.

Но трудность для детей состояла в том, что за перемещением они видели только слово, а самого процесса не ощущали. Движения, которое вошло в школьную геометрию вместе с перемещениями, юные метафизики из шестого класса не могли осознать. Поэтому они не могли усвоить тот метод рассуждения, который им предлагался. В 6 классе все мы уподобляемся Зенону Элейскому и подобно ему могли бы утверждать: «Движенья нет». Действительно, в сознании шестиклассника еще не сталкивались друг с другом противоречия, из которых и состоит осознание движения. У шестиклассников в головах еще всё линейно, последовательно, правильно. Они всё с удовольствием раскладывают по полочкам. И уж коли на полочку сознания что положено, то они не допустят никаких сомнений по поводу содержимого своей полочки! Только через год, в 7–8 классе подростки вступят в философский возраст и с удовольствием «скушают» все движения с их противоречиями, но в шестом классе рано говорить о перемещениях.

Оказалось, что прежде, чем осознать феномен движения целиком, человек должен сначала изучать его этапы. Надо было сначала долго ползать по разным частностям, переходя от этапа к этапу: 1) установить по данным равным элементам равенство треугольников, увидеть стороны, противолежащие равным углам (или углы, противолежащие равным сторонам), 3) сделать вывод о равенстве сторон (или углов). Усвоение школьниками каждого из этих этапов было сопряжено с большими трудностями для учителей. Чего стоило, например, «запихнуть» в ребячьи головы представление о противолежащих элементах треугольника! Но учителя видели перспективу и знали, что в конце изучения темы они получат мощное средство решения задач. А в новом учебнике логическая цепочка оказалась разорванной.

Неподготовленность учителей к новому содержанию преподавания прекрасно понимали авторы учебника. Поэтому они всячески тормозили появление в печати критических отзывов на свою книгу, надеясь, что со временем учителя верно воспримут новую концепцию. Но мне кажется, что основная проблема преподавания состояла не в неподготовленности учителей, а в той легкости, с которой дети могли назвать нужное преобразование, вовсе не вникая в суть дела. «Ну хочет Мария Ивановна порассуждать о центральной симметрии, ну, пусть себе рассуждает, а мы пока похохочем», – вот типичное умозаключение шестиклассников.

Остановлюсь теперь немного на более позднем учебнике «Геометрия 6–8» того же авторского коллектива (1980).

Помню, как однажды два районных методиста почти в открытую смеялись над пожилой учительницей, которая (на открытом уроке!) посмела произнести: «Проведем вектор». К тому времени мне уже разъяснил В.И. Мишин, что если всю плоскость утыкать направленными отрезками одинаковой длины и направления, то это и будет вектор. Когда я впервые услышала это описание, мне показалось, что я вот прямо сейчас, на этом месте сойду с ума. Но в учебнике «Геометрия 6–8» понятие вектора разъяснялось так, что вообще ничего понять было нельзя, и это дало повод для многих дискуссий о том, что же такое вектор. Надо отметить, что в некоторых современных учебниках геометрии дается именно такая трактовка понятия «вектор», о которой когда-то говорил В.И. Мишин. Однажды Ростислав Семенович Черкасов пришел в редакцию в страшном гневе. Оказалось, что в одной из статей, которые я редактировала, было написано: «Перемещение – это вектор». Злополучные слова даже были выделены рамочкой, и автор статьи клялась, что здесь каждое слово десять раз выверено. А Ростиславу Семеновичу академик Колмогоров попенял за них, и главный редактор затем выругал меня. Я же так перепугалась, что не осмелилась попросить у Ростислава Семеновича разъяснений.

На стр. 56 учебника «Геометрия 6–8» помещено описание того, как можно задать отображение окружности на диаметр. Сказано: «Каждой точке окружности соответствует одна точка диаметра». Эту фразу можно понять, как указание на то, что на отрезке и на диаметре помещаются одинаковые количества точек. Но учащиеся видят, что на окружности больше точек, чем на диаметре! Конечно, дети не понимают до конца, что такое точка (а мы-то сами это понимаем?). Но они вполне могут понять, что им продемонстрирован материальный пример того, что противоречит не только видимой реальности, но и воображаемым аспектам человеческого мышления. Значит, может существовать нечто, чего мы и представить себе не можем! А тогда почему наш бедный разум дерзает отрицать существование Бога?

Объясняя по-своему неуспех Реформы, Р.С. Черкасов, высказывал в печати следующую мысль: немного раньше Колмогоровских инноваций, проводимых в России, началась реформа математического образования в странах Западной Европы. Европейские реформаторы находились под сильнейшим влиянием идей знаменитых французских математиков, выступавших по общим псевдонимом Николя Бурбаки. «Бурбакистская реформа», как и «Колмогоровская», в теоретическом плане основывалась на теории множеств.

Итак, я рассказывала, как учащиеся воспринимали вопрос об отображении фигур. Этот же вопрос в 90-е гг. мне приходилось разъяснять взрослым людям. Причем мои слушатели были совсем не склонны лоботрясничать, они занимались очень прилежно. Но вопрос об отображениях им никак не давался. Они понимали суть дела, но усвоить её им никак не удавалось. Вот только что, казалось, человек всё понял и даже повторил, а через пять минут он снова путается… Причина, по-видимому, крылась в той торопливости, с какою подавался этот материал. Не успели учащиеся привыкнуть к непростому понятию отображение, как на них уже наваливается усложнение этого понятия – обратимое отображение, а далее следует обратное отображение. И всё это на одной странице 55 ранее упомянутого учебника. Это материал пришелся как раз на самую короткую и поэтому самую сложную вторую четверть учебного года в 6 классе.

С тех пор я для себя усвоила: людям можно разъяснить самые сложные вещи, но при этом к сложностям надо подползать постепенно, именно подползать, а не прыгать лошадиным галопом от одной сложности к другой.

Но авторы учебников часто стеснены разного рода условиями, в угоду сиюминутным интересам жертвуют качеством своих книг, надеясь, что исправят ошибки при переизданиях. Эти надежды иногда не сбываются. И детям всей страны приходится переживать разного рода трудности, которые на поверку часто оказываются отголоском авторских недоделок и закулисных стычек. Пора научиться работать спокойно, не надеясь на быструю отдачу, и воздерживаясь от превращения учебной книги в полигон собственного тщеславия.

Крушение Реформы произошло очень быстро, в историческом плане почти мгновенно. Всё началось с публикации в журнале «Коммунист» (1980, № 14) статьи академика Л.С. Понтрягина, содержавшей резкую критику положения дел в школе, которое сложилось в результате Реформы. Журнал «Коммунист» в 80-х гг. прошлого века был рупором практических и идеологических концепций Центрального Комитета Коммунистической партии Советского Союза.

Общество почти единодушно поддержало главный вывод Л.С. Понтрягина о том, что Реформа нисколько не улучшила школьный курс, а, наоборот, ухудшила его. Академик писал, что теория множеств – это только язык, удобный для математиков-профессионалов, а школьникам он не нужен. Утверждалось также, что пора вернутся к серьезным школьным задачам, не тратя времени на то, что учащимся может никогда и не понадобиться, так как техника и технологи прекрасно развиваются без теории множеств. В этих рассуждениях звучала чистая правда, и многим она открыла глаза.

После критики Л.С. Понтрягина из учебников по алгебре для средней школы даже слово «множество» исчезло. В педагогических кругах передавали анекдот, в виде вопроса к кроссворду: «Назовите нецензурное слово». Предполагался такой ответ: «Множество». В этом ответе заключался намек на следующую мысль: «Слово-то хорошее, но цензура его не пропустит».

Учебники по алгебре для средней школы были в срочном порядке переработаны, получили нового титульного редактора (С.А. Теляковского) и в таком виде просуществовали в средней школе до наших дней.

Упрекал Л.С. Понтрягин и учебник «Математика 4» (Н.Я. Виленкин, К.И. Нешков, С.И. Шварцбурд, А.С. Чесноков, А.Д. Семушин) за то, что там понятие уравнения «обрушивается на бедные детские головы как «предложение с переменной». Сам критик признавался, что, наткнувшись на это определение, не мог понять, что оно означает.

Вообще создание учебника – это дело, как показала практика, не для спринтеров с коротким дыханием. Эта работа может потребовать всей жизни. Ведь работал же А.П. Киселев всю жизнь над своим учебником по геометрии. У него получилось так замечательно, что даже не видно, каких это стоило усилий.

В заключение хочу сказать, что лояльное отношение ученых-математиков друг к другу поможет и нашему предмету занять в сознании общества ту высоту, с которой его согнала бесконечная перепалка между математиками.

Дата добавления: 2015-07-20