Первая позиционная задача (построение точки пересечения прямой с поверхностью общего положения.)

В зависимости от вида и взаимного расположения линии и поверхности, точек их пересечения может быть одна или несколько. Например, прямая линия с алгебраической поверхностью n-го порядка пересекается в n точках.

В основу их построения положен способ вспомогательных поверхностей, сущность которого состоит в том, что каждая из искомых точек рассматривается как результат пересечения двух линий, принадлежащих вспомогательной поверхности.

Одна из них является заданной линией, а вторая - линией пересечения вспомогательной и заданной поверхностей.

В соответствии с этим построение точек пересечения линии l и поверхности Ф (независимо от их вида) осуществляется по следующей общей схеме (рис.)

1. Через данную линию l проводим вспомогательную

поверхность.

2. Определяем линию m пересечения вспомогательной и заданной Ф поверхностей.

3. Отмечаем точку А пересечения линий l и m, которая и является искомой.

В символической записи схема имеет вид:

1) проводим l;

2) определяем m = Ф;

3) отмечаем А = l m = l Ф.

Примечание.

Поскольку линии l и m принадлежат одной и той же вспомогательной поверхности, они могут пересекаться, касаться и не иметь общих точек. В первом случае линия l пересекается с поверхностью Ф, во втором - касается ее, в третьем - не имеет с ней общих точек.

Для конкретной задачи на основании общей схемы составляется алгоритм ее решения.

Схема преобразуется в алгоритм, если конкретизировать первый пункт, т. е. точно указать вид и положение вспомогательной поверхности, которая выбирается для определения точек пересечения заданных линии и поверхности.

Только после составления алгоритма можно перейти к решению (построению) задачи на комплексном чертеже. Например, для определения точки К (рис.) пересечения пространственной кривой l и плоскости Г(АВС) общего положения алгоритм имеет вид (рис.)

1) через кривую l провести фронтально проецирующую цилиндрическую поверхность Ф(Ф l, Ф П2); l - направляющая цилиндрической поверхности;

2) определить линию m пересечения плоскости Г(АВС) и поверхности Ф(m = Ф Г);

3) отметить точку К пересечения линий l и m, которая является искомой (k = l m = l Г).

Графическая реализация алгоритма, т. е. построение проекций точки К на комплексном чертеже, показана на рис. 4.27, б. Фронтальная проекция Ф2 вспомогательной цилиндрической поверхности совпадает с фронтальной проекцией l2 линии l(Ф2 = l2). Фронтальная проекция m2 линии m совпадает с фронтальной проекцией Ф2 вспомогательной поверхности (m2 = Ф2), ее горизонтальная проекция m1 найдена на основании принадлежности ряда точек (1,2,3,4) линии m плоскости Г(АВС). Дальнейшее построение ясно из чертежа.

В качестве вспомогательных поверхностей наиболее часто применяются плоскости (общего и частного положения) и проецирующие цилиндрические поверхности. Выбор вида и положения вспомогательной поверхности определяется главным образом следующими соображениями:

1. Видом заданной линии l. Если линия l - пространственная кривая, то в качестве вспомогательной должна быть выбрана проецирующая цилиндрическая поверхность, для которой l является направляющей (рис. 4.27). Если l - кривая плоская, то в качестве вспомогательной может быть использована проецирующая цилиндрическая поверхность или плоскость, которой принадлежит данная кривая. И, наконец, если l - прямая линия, то в качестве вспомогательной поверхности выбирается плоскость.

2. Требованием простоты и точности построения на комплексном чертеже. Для выполнения зтого требования вспомогательную поверхность следует по возможности выбирать так, чтобы проекции линии ее пересечения с заданной поверхностью были графически простыми линиями, т. е. прямолинейными отрезками или дугами окружности (рис. 4.28 - 4.33)

Примеры решения на сайте: http://lekprim.ru/ingiring/geom/GL4_1-2.HTML

Дата добавления: 2015-07-20