общее решение уравнения

x = (-1)^k arcsin а+pk

Общая формула решения уравнения sin x= а имеет вид:

т.е. любое простейшее уравнение с синусом решается по этой общей формуле.

(-1)^k - это знак «+» или «-» перед arcsin а, а вот почему «+pk», а не «+2pk»?

Докажем эту формулу:

1) Пусть показатель степени при (-1) k=2n – четный, т.е. [(-1)^k =1], подставляем в общую формулу решения и получаем первое решение уравнения, т.е. х₁= arcsin а+2pn

2) Пусть теперь аналогично k=2n+1- нечетный, т.е. [(-1)^k=-1], подставляем в общую формулу решения и получаем второе решение уравнения

х₂= - arcsin а+(2n+1)p =- arcsin а+2pn+p =p - arcsin а+2pn

Рассмотрим несколько примеров решения простейшего тригонометрического уравнения sinx= а

1)sin x= 2) sin (2х + = ;

х =(-1)^k arcsin +pk 2х + =(-1)^k arcsin + ;

х =(-1)^k k решение ур-я 2х+ =(-1)^k + ;

2х = (-1)^k - + - делим почленно все уравнение на 2

х =(-1)^k решение ур-я

Учитывая свойства функции арксинус arcsin (-a) = - arcsin а, уравнение вида sin x=- а имеет решение

х = (-1)^k(- arcsin a) + = (-1)^k(-1)arcsin a + = (-1)^k+1arcsin a +

Итак, если sin x = - а, то общее решение имеет вид: х = = (-1)^k+1 arcsin a +

3) sin 2x =

2х = (-1)^k+1 arcsin + (в этой строке берем уже без знака «-»)

2х = (-1)^k+1 + - делим почленно на 2

х = (-1)^k+1 + решение ур-я

Существуют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений, когда не нужно пользоваться общей формулой решений, т.е. когда уравнение приравнивается к 0, -1 или 1. Для этого покажем в каких углах функция синус принимает данные значения на единичном тригонометрическом круге

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ sinx =а. y

1 p/2

sin x = -1, при х = ,

sin x = 0, при х =

sin x = 1, при х = + 2pn,

p 0 2p x

0 0

P/2

4) sin 3x = -1 - частный случай; 3х = , х = , - ответ

Аналогично рассматриваются выводы общих решений для уравнений вида

cos x =± а, tg x =± a, ctg x =± a

2. Рассмотрим уравнение cosx = а, уравнение имеет решение при | a | 1.

Аналогично, решая его графически, строим графики функций y=cos x и y= a

Учитывая периодичность, получаем два множества решений:

x₁= arcos a + 2pn

x₂= - arcos a + 2pn

Т.о. общее решение уравнения cos x = а меет вид:

Примеры:

1) cos x = ; 2) 2 cos 3x – 1 = 0;

х = arсcos + 2 ; cos 3x = ½;

х = , - решение уравнения 3x = arcos ½ + 2pn;

3x = p/3 + 2pn – делим на 3 почл-но

x = p/9 + 2pn/3, - ответ

В силу свойств функции у = аrccos х (ни чет., ни нечетности), учитывая равенство

,

уравнение cosx = - а имеет решение х =± (p - arccosa) +2πn

Пример 3:

- ответ при

4) cos x = - ; х = (π - arсcos )+ 2 ; х = ; х = - решение уравнения

5) cos 4 x = - 1 – частный случай; 4x = p + 2pn; x = p/4 + 2pn/4;

x = , - ответ

3.Уравнение:

Учитывая, что все значения тангенсов углов находятся на линии тангенсов, (т.е. областью значений функции у = tg x является множество всех действительных чисел), данное уравнение будет иметь решения при любом а для хÎ(-p/2; p/2)

y y

tgα

a

o x -p/2 0 p/2

tgα tgx arctg a

T

- одно общее решение

Пример 1:

ответ при

В силу свойства нечетности: arctg(-a)=-arctga

-1

уравнение имеет решение вида: .

Пример 2:

		-1

ответ при

Пример 3: tg3x=0– частный случай; 3x = pn, х= при - ответ

4.Уравнение: можно свести к уравнению

Учитывая свойства функции , её область определения хÎ(-p; p), область значений функции у = сtg x является множество всех действительных чисел, данное уравнение будет иметь решения при любом а

- общее решение

Пример 1:

- ответ при

Пример 2:

ctg 3x = 1; 3x=p/4 + pn; x=p/12 + pn/3, - ответ

Учитывая, что , уравнение

Пример 4:   3 tg(x +1) - =0; 3 tg(x +1) = ; tg(x +1) = ; x +1 = arctg +pn; x +1= p/6 + pn; x = p/6 + pn -1, - ответ

имеет решение вида:

Пример 3:

- ответ при

Загальні висновки:

Для розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь використовуються формули їх загальних рішень та окремі випадки, подані у наступній таблиці:

Эта таблица должна быть написана в конспекте обязательно!!!

Уравнение	Общее решение	Частные случаи	Приложения
			| a | 1.
			| a | 1.
tg = - a	x = - arctg a +pn		a Î R.
ctg = - a	x = p - arctg a +pn		a Î R.

Практическая работа по простейшим уравнениям:

Решение уравнений:

---

Дата добавления: 2015-07-25