Сжатого стержня

Цель работы:

Исследование явления потери устойчивости прямолинейной формы равновесия при осевом сжатии стержня. Опытная проверка формулы Эйлера для определения критической силы.

Общие сведения

Рассмотрим достаточно длинный по сравнению с его поперечными размерами стержень, шарнирно опертый по концам и нагруженный осевой силы P (рис. 1, а).

При сравнительно малой величине силы, меньшей некоторого критического значения P < P _кр, стержень будет сохранять прямолинейную форму равновесия. Если отклонить стержень в сторону, например, путем приложения кратковременно действующей горизонтальной силы, он будет после ряда колебаний возвращаться к первоначальной прямолинейной форме, как только будет удалена добавочная сила, вызвавшая отклонение. Такая форма равновесия стержня называется устойчивой. При значении сжимающей силы, равном критическому значению P=P _кр, стержень будет находиться в состоянии безразличного равновесия. Будучи незначительно отклоненным от первоначального прямолинейного положения и предоставленным самому себе, он остается в равновесии и в отклоненном состоянии (рис. 1, б). И, наконец, если сила P станет больше критической P > P _кр, то прямолинейная форма равновесия стержня будет неустойчивой. При силе большей критической стержень получит новую криволинейную форму равновесия (рис. 1, в) или разрушится. В практических расчетах критическую силу рассматривают как опасную (предельную) нагрузку.

Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы P, при котором прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой. Величина критической силы определяется по формуле Эйлера

где E – модуль Юнга материала стержня;

I _min – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня;

m – коэффициент приведения длины, который зависит от способа закрепления концов стержня;

l – длина стержня.

Для четырех наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня коэффициент m имеет следующие значения:

· для стержня с шарнирно закрепленными концами m = 1;

· для стержня с одним заделанным и другим шарнирно закрепленным концом m = 0,7;

· для стержня с заделанными концами m = 0,5;

· для стержня с одним заделанным и другим свободным концом m = 2.

Критическое напряжение в стержне определяется по формуле

где – гибкость стержня;

– минимальный радиус инерции сечения стержня;

А – площадь поперечного сечения стержня.

Формула Эйлера применима лишь в том случае, если потеря устойчивости стержня происходит при напряжении, меньшем предела пропорциональности

где s_пц – предел пропорциональности материала.

Условие применимости формулы Эйлера может быть выражено в зависимости от гибкости стержня. Формула Эйлера применима, если гибкость стержня l равна или больше предельного ее значения l_пред, то есть

где – предельная гибкость стержня.

Установлено, что формула Эйлера применима при гибкостях, превышающих: для чугуна – 80; для дерева – 110; для стали марки Ст.3 – 100.

При значениях гибкостей l, меньших предельных значений, формула Эйлера не применима, так как потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности. В этих случаях критические напряжения определяются по эмпирической формуле Ясинского, которая для стали и дерева записывается так:

где a, b – коэффициенты, зависящие от материала. Для стали Ст. 3 при гибкостях l = 40 100 величина a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.

Для сосны при гибкостях l = 40 100 величина a = 29,3 МПа, b = 0,194 МПа.

Для стержней с малой гибкостью (l = 0 40) величина напряжения равна пределу текучести материала.

Испытательная машина

Испытания стержней на устойчивость проводятся на испытательной машине ГЗИП, предельная нагружающая способность которой может быть 20 или 50 кН. Возможно применение любой другой испытательной машины вертикального типа, предназначенной для статических испытаний на сжатие достаточно длинных стержней или специально изготовленной установки.

К захватам машины прикрепляются специальные зажимы для закрепления концов плоского стержня. На рис. 2 показано устройство таких зажимов.

При отвинченных винтах концы образца могут свободно поворачиваться, опираясь на зажимы своими острыми ребрами, это соответствует случаю шарнирного закрепления (m = 1); длина стержня измеряется от его концов. При завинченных винтах концы стержня не могут поворачиваться, что соответствует случаю жесткого закрепления обоих концов стержня (m = 0,5). В этом случае длина стержня измеряется между осями винтов, как показано на рис. 2. Если жестко закреплен только один конец стержня, а другой может свободно поворачиваться (m = 0,7), то длина стержня измеряется от незакрепленного конца до оси завинченного винта.

Порядок выполнения работы

1. Замерить размеры поперечного сечения и длину стержня.

2. Установить стержень в зажимах испытательной машины. В отчете записать характер закрепления верхнего и нижнего конца стержня.

3. Вычислить гибкость стержня по формуле

.

4. Медленно и ступенями нагружать стержень вручную. Во время нагружения наблюдать за величиной нагрузки и поведением стержня. При испытании на машине нагрузка вначале плавно возрастает, затем при достижении определенной величины нагрузки стержень начнет изгибаться и рост нагрузки прекратится. Это значение нагрузки является критическим и записывается в отчете.

5. Вычислить величину критической силы. При этом, если величина гибкости стержня равна или выше предельного ее значения (), то величина критической силы определяется по формуле Эйлера (1), если ниже (), то А, где определяется по формуле Ясинского (5).

6. Сравнить величину критической силы, полученную опытным путем, с вычисленной по формуле Эйлера. Определить процент расхождения.

7. Результаты испытания представить по прилагаемой форме.

Дата добавления: 2015-07-25