Метод Эйлера

В этом методе проводится касательная из точки (x ₀, y ₀) c тангенсом угла наклона f (x ₀, y ₀) и продолжается до искомого значения y при x (рис. 7). Приближенное значение y вычисляется из линейной зависимости этой касательной:

(59)

Рис. 7. Графическая интерпретация метода Эйлера

Разность между истинным и приближенным значением составляет ошибку метода (Dy). Для снижения ошибки интервал [ x₀,x ] делят на N малых интервалов с шагом h и на каждом i -том интервале при значении аргумента x_i

(61)

используют формулу (59). При этом можно получить итерационную формулу Эйлера:

(62)

Чем меньше шаг, тем меньше погрешность метода (погрешность этого метода пропорциональна h²). Существуют также методы, уменьшающие ошибку на каждом шаге интегрирования. Один из них – метод Эйлера-Коши.

Программа 26

Метод Эйлера-Коши

В этом методе проводится две касательных: одна та же, что и в методе Эйлера, с тангенсом угла наклона tga = f (x₀,y₀), а вторая из той же точки, но с углом наклона tgb = f (x,y₁), где y₁ – это вычисленное из первой касательной приближенное значение y. Из линейной зависимости второй касательной находят y₂. За решение принимают полу сумму y₁ и y₂:

(63)

Разделив интервал интегрирования на N подинтервалов и применив к каждому из них уравнения (63) получим итерационную формулу метода Эйлера-Коши (ошибка пропорциональна h³):

(64)

В программе 27 дана реализация алгоритма этого метода. Еще более точным является метод Рунге-Кутта. Он наиболее популярен в технических, инженерных и научных расчетах.

Метод Рунге-Кутта 4 порядка

В этом методе, проводят четыре касательных, затем их усредняют. Приведем заключительную процедуру итерационных соотношений этого метода (ошибка пропорциональна h⁴):

(65)

В программе 28 реализован метод Рунге-Кутта.

Программа 27

Программа 28

Дата добавления: 2015-07-19