Интегрирование функции, заданной таблично

Если подынтегральная функция задана таблично в виде пар значений x(i),y(i) (узлов), то интеграл можно вычислить несколькими способами. Первый заключается в том, чтобы выразить зависимость y от x какой-либо подходящей, т. е. решить задачу аппроксимации или интерполяции табличных данных. Затем эта зависимость используется для интегрирования функции методами, описанными выше. Выбор аппроксимирующей и интерполирующей функции, а также методы расчета их параметров описаны в соответствующем разделе.

Задачу интегрирования таблично заданной функции можно решить, не прибегая к построению аппроксимирующей (интерполирующей) функции. Если табличные данные приводятся с постоянным и достаточно маленьким шагом по х, то можно применить квадратурные формулы. Пределы интегрирования могут быть любыми в пределах табличных данных и совпадать с узлами. В программе 20 выполнен расчет с помощью метода Симпсона (он оптимален для интегрирования табличных зависимостей). Единственным его недостатком является требование четности интервалов интегрирования N. А изменить количество интервалов интегрирования таблично заданной функции мы не можем. Для метода трапеций этой проблемы нет и в программе 20 приведен также расчет методом трапеций. Для иллюстрации точности интегрирования в программе 20 в качестве табличных данных взята синусоидальная зависимость с точностью до третьего знака после запятой. С такой же точностью поручены, как видно из листинга программы, и значения интегралов. Это правило выполняется всегда: чем точнее задана таблица, тем точнее можно вычислить интеграл и тем менее точный метод интегрирования можно использовать.

Если же шаг интегрирования не постоянный. А это часто бывает с экспериментальными табличными данными, то лучше воспользоваться первым способом: построить аппроксимирующую (интерполирующую) функцию. В программе 21 приведены три наиболее компактные формы интерполяции и аппроксимации табличных данных для целей интегрирования. Как видно из листинга программы, наибольшую точность дают кубическая сплайн-интерполяция и аппроксимация полиномом (в данном случае четвертой степени).

Программа 20

Программа 21

Расчет изменений термодинамических функций в ходе химической
реакции по интегральным уравнениям

В основе расчета изменений термодинамических функций: энтальпии DrH0Т, энтропии DrS0Т и энергии Гиббса DrG0Т, а также константы равновесия для химической реакции лежат соответствующие дифференциальные уравнения и их интегральные формы, представленные в таблице 7 [11].

Таблица 7

Дифференциальныe уравнения	Интегральные формы
(А)
(Б)
(В)   (Г)
(Д)
Вспомогательные константы и функции

Интегральные уравнения получены на основании температурной зависимости теплоемкости индивидуального вещества:

(47)

Для химической реакции

(48)

где знак D_r обозначает изменение соответствующих коэффициентов в ходе реакции с учетом стехиометрии (иногда его называют химическим оператором), например

(49)

Все дифференциальные уравнения (А-Д) приведены к форме

(50)

Если принять T₀ =298 K, то соответствующие значения y₀ можно вычислить, используя справочные данные о теплотах образования (D_rH_f⁰₂₉₈ и абсолютных энтропиях (D_rS⁰₂₉₈) веществ – участников реакции.

(51)

(52)

(53)

(54)

В программе 22 дан пример использования интегральных форм уравнений (А-Д) для расчета изменений термодинамических функций химической реакции, который может быть использован для расчетов в домашних заданиях по физической химии. В разделе «Решение дифференциальных уравнений» будут приведены программы решения дифференциальных уравнений (А-Д), а также их систем. Для расчета всех термодинамических данных, как следует из приведенных выше уравнений, достаточно рассчитать две из них, например и , так как уравнение Гиббса-Гельмгольца (53) справедливо не только при 298 К, но и при любой температуре. Поэтому для получения полной информации о термодинамики химической реакции достаточно системы из двух дифференциальных уравнений, например, А и В.

В конце программы приведен расчет изменения энергии Гиббса и логарифма константы скорости реакции при заданных температурах методом Темкина-Шварцмана. Обычно в домашних заданиях по физической химии этот расчет занимает много времени в особенности если учесть, что значения постоянных М₀, М₁, М₂ и М_-2 надо брать из справочника, в котором эти значения приведены с шагом в 100 К. Провести же расчет этих постоянных по соответствующим формулам при любых температурах в MathCad не представляет труда.

При использовании этой программы обратите внимание, что стехиометрические коэффициенты начальных веществ надо вводить отрицательными, а конечных положительными. Тогда в формулах типа (51-52) две отдельные суммирования по конечным и начальным веществам можно заменить суммированием по всем компонентам. Не перепутайте также номера начальных и конечных веществ при формировании формулы для расчета теплоемкости начальных и конечных веществ.

Программа 22

Контрольные вопросы к главе 5

1. Каким образом дифференциальное уравнение можно привести к интегральному виду?

2. Какое решение дифференциального уравнения называют «точным»?

3. Можно ли приближенными методами получить результат с той же точностью, что и при помощи аналитического выражения?

4. Какие принципы лежат в основе численных методов интегрирования?

5. Как зависит ошибка усечения от шага интегрирования?

6. Какими способами можно уменьшить ошибку усечения?

7. От чего зависит ошибка округления?

8. Покажите на рис.5, где ошибка усечения в методе трапеций и в методе прямоугольников? В каком методе она меньше?

9. Какими двумя методами получить расчетные формулы метода прямоугольников и метода трапеций?

10. Поясните, как получена расчетная формула метода прямоугольников?

11. Получите расчетную формулу метода трапеций графическим методом.

12. Как получить расчетную формулу Симпсона из квадратурной формулы Котеса?

13. Как оценить точность вычислений в методах прямоугольников, трапеций и Симпсона?

14. Как задать точность вычислений определенного интеграла при использовании встроенных функций MathCad?

15. Как средствами MathCad взять интеграл и получить аналитическое решение?

16. Что обозначает термин «форматирование результата»?

17. Как отформатировать результат?

18. В чем состоит алгоритм интегрирования Ромберга?

19. Как выбрать метод интегрирования таблично заданной функции?

20. Какие численные методы можно использовать для замены табличной функции?

21. Как получены интегральные уравнения в таблице 7? Можно ли их получить, используя символьный процессор MathCad?

Расчетное многовариантное задание № 5

А. Вычислите определенный интеграл методом прямоугольников и методом трапеций с заданным количеством интервалов N; оцените точность определения интеграла каждым из этих методов;

Б. Вычислите определенный интеграл методом Симпсона с тем же количеством интервалов; сравните точность интегрирования методом Симпсона и методами трапеций и прямоугольников;

В. Вычислите определенный интеграл методом Симпсона с заданной точностью e; сравните его значение со значением, вычисленным с помощью встроенной функции MathCad; попытайтесь взять интеграл символьно.

Таблица 8

№ вар.	Интеграл	N	e
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001
			0.000001
			0.0001
			0.00001

Форма записи отчета в лабораторном журнале:

Дата:____. Занятие № __. Тема: «Вычисление определенного интеграла». Вариант ___.

а). Значение интеграла =0.23456, метод прямоуг., N= 16, достигнута точностью 1.2×10^-3

Значение интеграла =0.23387, метод трапеций, N= 16, достигнута точностью 5.2×10^-5

б). Значение интеграла =0.23388, метод Симпсона, точность 1.2×10^-6

в). Значение интеграла = 0.23389 методом Симпсона с заданной точностью 0.00001. Такое же встроенной функцией.

Имена программ: интеграл1. mcd; интеграл2. mcd, интеграл3. mcd

Расчетное многовариантное задание № 6

А. Вычислите определенный интеграл таблично заданной функции Y= f (X) (см. данные в табл. 2). Метод выберите в зависимости от шага и количества узлов таблицы.

Б. Вычислите изменения термодинамических функций в ходе химической реакции при температурах от Т₁ до Т₂ c шагом 50 К по интегральным уравнениям; постройте графики зависимости этих функций от температуры, а также зависимости и . Уравнения реакций даны в табл. 10.

Таблица 9

№ вар.	№ реакции	Т1, Т2, К	№ вар.	№ реакции	Т1, Т2, К
1.		700, 1000	23.		300, 500
2.		800, 1100	24.		200, 500
3.		300, 500	25.		300, 600
4.		200, 500	26.		400, 700
5.		300, 600	27.		500, 800
6.		400, 700	28.		600, 900
7.		500, 800	29.		700, 1000
8.		600, 900	30.		800, 1100
9.		700, 1000	31.		300, 500
10.		800, 1100	32.		200, 500
11.		300, 500	33.		300, 600
12.		300-500	34.		400, 700
13.		700, 1000	35.		500, 800
14.		800, 1100	36.		600, 900
15.		300, 500	37.		700, 1000
16.		200, 500	38.		800, 1100
17.		300, 600	39.		300, 500
18.		400, 700	40.		200, 500
19.		500, 800	41.		300, 600
20.		600, 900	42.		400, 700
21.		700, 1000	43.		500, 800
22.		800, 1100	44.		600, 900

Уравнения реакций:

Таблица 10

	2Н2(г)+СО(г) = СH4O(ж) метанол		CO2(г)+H2(г)=CO(г)+H2O(ж)
	4HCl(г) + O2(г) =2H2O(г)+2Cl2(г)		CO2(г)+4H2(г)=CH4(г) +2H2O(ж)
	NH4Cl(b) = NH3(г)+HCl(г)		2CO2(г)=CO(г)+O2(г)
	2N2(г) +6H2O(ж) = 4NH3(г) +3O2(г)		CH4(г) +CO2(г)=2CO(г)+2H2(г) метан
	4NO(г) + 6H2O(Ж)=4NH3(г)+5О2(г)		C2H6(г)=C2H4(г) +H2O(ж) этан этилен
	2NO2(г)=2NO(г)+O2(г)		C2H6O(ж) =C2H4(г) +H2O(ж) этанол этилен
	N2O4(г)=2NO2(г)		C2H4O(г)+H2(г)=C2H6O(ж) ацетальдегид этанол
	Mg(OH)2кр=MgOкр+H2O(г)		C6H6(ж)+3H2(г)=C6H12(ж) бензол циклогексан
	CaCO3 кр= CaOкр+CO2(г) кальцит		2H2(г)+ CO(г)=CH4O(г) метанол
	Ca(OH)2=CaOкр+H2O(г)		2H2O(ж)+2Cl2(г)=4HCl(г)+O2(г)
	Sромб.+2H2O(ж)=SO2(г)+2H2(г)		Sмонокл+2H2O(ж) =SO2(г)+2H2(г)
	Sромб.+2CO2(г)=SO2(г)+2CO(г)		Sмонокл+2CO2(г) =SO2(г)+2CO(г)
	2SO2(г)+O2(г)=2SO3(г)		SO2(г)+Cl2(г)=SO2Cl2(ж)
	SO2(г)+Cl2(г)=SO2Cl2(г)		C2H4O(г)+H2(г)=C2H6O(ж) этиленоксид этанол
	CO(г)+3H2(г)=CH4(г) +H2O(ж)		C6H6(ж)+3H2(г)=C6H12(г) бензол циклогексан
	2CO(г)+SO2(г)=Sромб+2CO2(г)		2N2(г) +6H2O(г) = 4NH3(г) +3O2(г)
	CO(г)+Cl2(г)=COCl2(г)		4NO(г) + 6H2O(г)=4NH3(г)+5О2(г)

Варианты творческих заданий

1. Модифицируйте программу 16 так, чтобы ее можно было бы использовать для расчета интеграла с заданной точностью.

2. Выполните расчеты изменений термодинамических функций в ходе химической реакции в соответствии с домашним заданием по физической химии.

Дата добавления: 2015-07-19