Поэтапная реализация коррелатной версии

1. Моделирование

Моделирование – важнейший, определяющий этап всей процедуры МНК-опимизации и оценки точности. Система УУС, моделирующих ГП, должна математически отображать связи, существующие между измеряемыми элементами: расстояниями, направлениями, углами, превышениями, вариациями ускорения силы тяжести и т.п.

Виды УУС различны и зависят от геометрии П-В, в котором создаётся ГП. Возможное множество УУС g превышает количество, линейно независимых УУС r. При этом УУС, как ММ, должны обеспечивать в исследуемом ГП:

а) единство координатной привязки (УУ абсцисс, ординат, высот и т.п.);

б) единство масштаба (УУ базисов, жёстких сторон, полюсов, «окон» в плановых сетях и т.п.);

в) единство ориентировки (УУ дирекционных углов, азимутов Лапласа, жёстких углов и т.п.);

г) геометрическую форму его элементов (УУ фигур, горизонта, накрест лежащих углов, замкнутых ходов и т.п.).

Необходимо отметить, что система УУС количественно ограничена числом r, а качественно допускает произвол в рамках одновременного обеспечения единств и форм.

Примеры:

а) УУ абсцисс для одиночного полигонометрического хода, имеющего угловую привязку, записывается следующим образом:

φ_X = ∑ΔX_изм.–X_кон.+X_нач.= 0,

где

∑ΔX_изм = s₁*cos(α_нач.+β₁–π)+…+s_k* cos(α_нач.+β₁+…+β_p–k*π);

б) УУ полюса в точке пересечения диагоналей геодезического четырёхугольника с измеренными углами выглядит так:

;

в) УУ дирекционных углов в полигонометрическом ходе, имеющем угловую привязку, имеет вид:

φ_α = ∑β_изм.– k*π–α_кон.+α_нач.= 0;

г) УУ фигур для измеренных углов в треугольнике сети триангуляции – это простейшая линейная функция:

φ_β = β₁+ β₂ + β₃ – π = 0;

д) УУ превышений в нивелирном ходе тоже линейно:

φ_h = h₁+ h₂ + … +h_n – H _кон + H _нач = 0;

Система линейно-независимых УУС будет иметь вид;

F _{r 1}(Y ^T_1n; Z ^T_1q ) = 0 _r1 → (K.47)

Для гарантии линейной независимости очередного вновь вводимого УУ достаточно включить в него измерение, ранее не задействованное в предшествующих УУ. Тем не менее, может наступить момент, когда все измерения уже задействованы, но количество УУС ещё не достигло числа r. Здесь всё будет зависеть от опыта и внимательности составителя УУ. Он должен удовлетворить все выше перечисленные требования, предъявляемые к УУС.

Из сказанного становится понятным, с какими трудностями логического характера приходится сталкиваться при автоматизации данного этапа. Производственные пакеты прикладных геодезических программ, учитывая указанные проблемы, реализуют не коррелатную версию МНК-оптимизации данных, а параметрическую, вывод которой излагается в следующем разделе.

Формирование ковариационной матрицы измерений K _y рекомендуется выполнять так, что бы её элементы были числами одного десятичного порядка. С этой целью можно прибегнуть к масштабированию СКО измерений, выражая их, допустим, не в радианной мере, а в угловой или не в метрах, а в сантиметрах и т.п. При этом необходимо помнить, что соответствующие «невязки» УУС должны быть выражены в единицах того же масштаба.

Практически при выполнении геодезических работ последние организуются таким образом, чтобы их результаты не были коррелированными. В таком случае ковариационная матрица измерений будет диагональной матрицей, элементы которой можно переобозначить с целью получения дальнейших результатов преобразований в традиционной форме:

K _y = K = diag{m₁², m₂² … m_n²} = diag{π₁, π₂ … π_n}. (K.48)

Величины π_i, входящие в ковариационную матрицу некоррелированных измерений (K.48), представляют собой обратные «веса»:

π_i = 1/p_i.

Покажем это. Веса определяются как величины, обратно пропорциональные дисперсиям. В качестве коэффициента пропорциональности выступает величина s₀² º 1. Известно, что m_i² = s₀² / p_i. Отсюда окончательно получаем m_i² = 1 / p_i = π_i.

2. Линеаризация

Линеаризованные УУС получаются путём разложения в ряд Тейлора исходной системы (K.47):

B_{r n} v_n1 + W_r1 = 0_{r 1}. (K.14)

Коэффициенты B_{r n}, неизвестные v_n1 и свободные члены W_r1 этих уравнений традиционно записываются так:

, (K.49)

v_1n^T = (v₁, v₂, … v_n), (K.50)

W_1r^T = (w₁, w₂, … w_r). (K.51)

В алгебраической форме линеаризованные УУС имеют вид:

. (K.52)

Важнейшим моментом второго этапа является определение допустимости свободных членов («невязок») линеаризованных УУС.

Допустимые значения невязок УУС.

Вектор невязок W_r1 вычисляется по данным измерений y _n1 и координатам опорных точек z _q1:

Изучив статистические свойства векторов-оценивателей коррелатной версии, мы установили, что: E(W) = 0; а K_W = N. Из последнего факта следует, что , т.е. среднее квадратическое значение j-ой невязки – это диагональный элемент матрицы коэффициентов нормальных уравнений коррелат, находящийся на пересечении j-ой строки и j-ого столбца.

Установление допустимости невязки w _j начинается с проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю её МО:

H₀ = {E(w_j) = 0} (K.53)

против альтернативной гипотезы

H_A = {E(w_j) ≠ 0}. (K.54)

Нулевая гипотеза (K.53) проверяется с помощью теста

t_Э = | w_j |/σ_{w j}, (K.55)

который сопоставляется на уровне значимости α с квантилью t_T распределения Стьюдента, характеризующегося r = n – k степенями свободы:

t_T = arg(F_Ст.^(n-1)= (1–α/2)). (K.56)

Воспользовавшись неравенством альтернативной гипотезы (K.54), получаем такое выражение для допустимого значения невязки j-го УУС:

t_Э = | w_j |/σ_wj ≤ t_T → w_j^доп = t_T* σ_wj = t_T* . (K.57)

Квантиль распределения Стьюдента, называемая «доверительным множителем», часто заменяется квантилью нормального распределения на том же уровне значимости. Нормальные доверительные множители, соответствующие уровням значимости 0.05, 0.01 и 0.003 равны:

t_0.05 = 1.96 ≈ 2; t_0.01 = 2.58 ≈ 2.6; t_0.003 = 3. (K.58)

Если вычисленная невязка лежит в допустимых пределах, это не означает, что она найдена без ошибок. К сожалению, не существует прямых контрольных выражений для проверки вычисления невязки. Выход один – вычисления «во вторую руку».

Дата добавления: 2015-07-19