Примеры расчета электрических полей в диэлектриках

1. Поле внутри плоской пластины.

Пусть поле создано в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Напряженность этого поля ; электрическое смещение .

Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 5.

Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности .

Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого

.

Вне диэлектрика .

Напряженность поля .

Оба поля направлены навстречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика:

,

вне диэлектрика .

Поляризация диэлектрика обусловлена полем .

Оно перпендикулярно к поверхности пластины и ,

тогда , и , или

- то есть показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Умножим на , имеем

· - внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на , то есть совпадает с электрическим смещением внешнего поля .

· Вне пластины и .

Найдем :

и

, тогда .

2. Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с поверхностными плотностями зарядов и .

- Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков,

- относительные диэлектрические проницаемости которых и ,

- а толщины и соответственно (рис.3).

Расстояние между пластинами равно , поэтому .

Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев диэлектрических сред ясно, что всюду векторы и должны быть параллельны оси , то есть , .

В каждом из слоев диэлектрика поле однородно. Поляризованы эти слои тоже однородно.

Поэтому в них имеются только поверхностные поляризованные заряды.

Плотности этих зарядов на плоских поверхностях каждого диэлектрика отличаются только знаком.

Напряженность поля связанных зарядов

· отлична от нуля только внутри самого слоя диэлектрика.

· Вне конденсатора (при и ) поля нет, , .

· Найдем напряженность поля в пространстве между пластинами .

Выберем цилиндрическую гауссову поверхность, показанную на рис. 3 - штриховой линией. Образующие цилиндра параллельны оси , а основания параллельны заряженным плоскостям. Площадь каждого основания .

Левое основание находится в области , где , а правое проходит через точку поля с координатой , в которой вычисляется поле.

Поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку только через правое основание:

.

Внутри гауссовой поверхности находится свободный заряд, размещенный на площадке левой плоскости и равный .

Тогда по теореме Гаусса ,

Отсюда .

В первом слое напряженность поля равна при .

Во втором слое при ,

график зависимости при представлен на рис. 4.

3. Поле равномерно заряженной сферы радиуса , окруженной концентрическими слоями двух разных диэлектрических сред.

Наружный радиус

- первой среды с относительной диэлектрической проницаемостью равен ,

- а второй среды равен (рис. 1).

За пределами второй среды - вакуум. Поверхностная плотность свободных зарядов на сфере радиуса равна .

Центр заряженной сферы и концентрических слоев диэлектриков является центром симметрии поля.

Поэтому в любой точке поля векторы и направлены радиально

• от центра , если ,
• или к центру , если , то есть ; .

Выберем в качестве гауссовой поверхности сферу с центром в точке и радиуса .

Во всех точках этой поверхности , где - проекция центра , в рассматриваемую точку поля на поверхности .

Из симметрии поля следует, что во всех точках поверхности значения одинаковы.

Поэтому поток смещения через поверхность равен:

С другой стороны, по теореме Гаусса, этот поток равен , причем

· , если

Таким образом, при ; и ,

· То есть при

Для вектора имеем: .

Внутри сферы при ;

в первой среде при

во второй среде при ;

за пределами второй среды при .

Таким образом, терпит разрыв дважды:

1. на границе «первая и вторая среда»

2. и «вторая среда - вакуум».

З ависимость представлена на рис. 2.

Р

4.

Дата добавления: 2015-07-19