Законы теплового излучения

Характеристики теплового излучения описываются законами, открытыми Г. Кирхгофом, И. Стефаном, Л. Больцманом, В. Вином, Д. Рэлеем, Д. Джинсом, М. Планком и другими учеными.

Тепловое излучение АЧТ в различных спектральных диапазонах описывается законом Кирхгофа: спектральная плотность энергетической светимости M_{е n}⁰(или M_{е l}⁰)является универсальной функцией Кирхгофа:

M_{е n}⁰ = r _ч(n, T), Дж/м²; (9.27)

M_{е l}⁰ = r _ч(l, T), Вт/м³, (9.28)

где r _ч(n, T), r _ч(l, T), – испускательная способность абсолютно черного тела.

Спектральное распределение излученияАЧТ определяется универсальной функцией Кирхгофа r _ч(l, T), Вт/м³, теоретически описываемой формулой Планка:

r _ч(l, T) =(2p hc ²)/[l⁵ (е^{hc / l kT} – 1)], (9.29)

где h - постоянная Планка, h = 6,626×10^-34 Джс; k - постоянная Больцмана.

Выражение (9.29) можно переписать в виде:

r _ч(l, T) = (ħc ²/l⁵)/ (е^{ħc /2pl kT} – 1), (9.30)

r _ч(l, T) =(C ₁/l⁵)/ (е^{C 2 / l T} – 1), (9.31)

где ħ – постоянная Планка; ħ = 2p h = 1,054·10^–34 Джс; С ₁ – первая радиационная постоянная; С ₁ = 3,742·10^–16 Втм²; С ₂ – вторая радиационная постоянная; С ₂ = 0,014 мK; k = 1,38·10^–23 Дж/K.

Графически универсальная функция Кирхгофа при различных температурах представляется семейством кривых, имеющих следующие особенности: энергия излучения равна нулю при l = 0, быстро растет до максимума на длине волны l_мах, после чего стремится к нулю на длинных волнах (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Зависимость r _ч(l) при различных Т: 1- 1500 К; 2– 1800 К; 3 – 1900 К

Анализ распределения энергии в спектре АЧТ позволяет сделать вывод о том, что при высоких абсолютных температурах излучение охватывает не только видимую, но и инфракрасную и ультрафиолетовую области спектра. В области естественных температур (-50…+60 ^оС) максимум излучаемой энергии приходится на долю ИК-лучей. На рис. 9.1 вертикальной линией отмечена область длины волны l = 650 нм = 0,65 мкм, при которой работает пирометр с исчезающей нитью.

При сравнении излучения серого тела с излучением АЧТ можно отметить, что форма функции Кирхгофа, описывающая распределение энергии в спектрах тела, одинакова, однако на всех частотах выполняется условие

r_с (l, T) = y r _ч(l, T) = e_l r _ч(l, T). (9.32)

Сравнивая тепловые потоки от двух тел с одинаковой температурой (идеализированного АЧТ и серого тела), можно отметить, что все параметры теплового потока, исходящего от последнего тела, будут в e_l раз меньше, чем потока, исходящего от первого. Поскольку серое тело излучает в любой области спектра в e_l раз меньше энергии, чем АЧТ, имеющее ту же температуру, то оно будет казаться более холодным.

Положение максимума кривой зависит от температуры тела. Дифференцируя выражение r _ч(l, T)по длине волны и определив условие максимума, можно получить выражение закона смещения Вина:

l_mах = b _В/ T, (9.33)

(b _В – постоянная Вина; b = 2,8·10^–3 мK), который формулируется следующим образом: при увеличении температуры максимум сдвигается в сторону более коротких длин волн (рис. 9.1),но при этом длины волн, соответствующие максимуму излучения серого тела и абсолютно черного тела, совпадают.

Формула Вина объясняет экспериментально наблюдаемое изменение цвета в спектре нагретого тела по мере возрастания его температуры. При этом следует учитывать, что длина волны цвета, на который в наибольшей степени реагирует (как прибор) человеческий глаз, выделяя данный цвет как доминирующий, является той же, что и длина волны, вычисленная для l_mах.

Интегрируя соотношение (9.29) в диапазоне длин волн от l = 0 до ¥, получим выражение, описываемое законом Стефана – Больцмана, характеризующим интегральную энергетическую светимость (интегральную излучательность) M_et:

M_еT = ò r _ч(l, T)dl = M_е ⁰(T) = s T ⁴, Вт/м², (9.34)

где s – постоянная Стефана–Больцмана; s = 5,67·10^–8 Вт/(м²K⁴).

Формула Стефана–Больцмана (9.34) устанавливает, что энергетическая светимость M_е ⁰(T) излучения АЧТ пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры.

Графически величина M_е ⁰(T) представляет собой площадь под кривой Кирхгофа для соответствующей температуры (рис. 9.1).

C учетом (9.29) имеем, что плотность потока излучения серого тела меньше, чем плотность потока от черного тела:

M_еTc = e _т M_е ⁰(T)= e _т s T ⁴, (9.35)

где e _т < 1 - интегральный коэффициент излучательности (интегральный коэффициент черноты).

Тепловое излучениеосуществляется в виде излучения потока фотонов. Разделив обе части формулы Планка (9.29) на значение энергии фотона
(E = h n) получим выражение для плотности испускаемых фотонов N _ф(l, T) в единицу времени в узком диапазоне длин волн:

N _ф(l, T) = r _ч(l, T)l/ hc = (2p c /l⁴)/(е^{hc / l kT} – 1), 1/м³c. (9.36)

Семейство кривых для спектрального фотонного излучения сходно по форме с кривыми Кирхгофа, но имеет менее резкий максимум, который смещен в сторону более длинных волн.

Формула Стефана–Больцмана, описывающая плотность потока фотонов, от черного тела имеет следующий вид:

N _фч = ò N _ф(l, T)dl=s₁ T ³, 1/м²с, (9.37)

где s₁ – постоянная.

Физически, величина N _фч характеризует число фотонов, излучаемых c единицы поверхности тела за единицу времени.

Очевидно, что эмиссия (излучение) фотонов от серого тела в e раз меньше, чем от абсолютно черного тела, и число фотонов N _фс c единицы поверхности за единицу времени определяется соотношением

N _фс = e _т s₁ T ³, 1/м²с. (9.38)

Дата добавления: 2015-07-17