Экспериментальное построение гистограммы выборки

Гистограмму выборки строим по следующему алгоритму.

1. Выбираем определенное количество произвольных элементов, например, резисторов, с одним и тем же номинальным сопротивлением. Для надежного результата в выборку включаем до N = 100 штук элементов.

2. Используя приборы (мосты переменного тока) экспериментальным путем определяем значения, например, сопротивлений R_{i эксп} всех элементов исследуемой выборки.

В результате эксперимента записываем в таблицу 7.2 всю совокупность значений (в произвольном порядке) резисторов по мере того, как производится измерение: { X ₁, X ₂, …, X_i, …, X_n }. Например, получено 100 значений:

30, 25; 29,45; 36, 51; ….., 40,15; …; 29,54; …., 31,35;….., 28,54;…., 37,45.

3. Производим построение вариационного ряда по полученным экспериментальным данным.

Вариационным рядом называется набор { Z ₁, Z ₂, …, Z_i,…, Z_N } экспериментальных значений сопротивлений резисторов, который получаем с учетом исходного массива данных { X ₁, X ₂, …, X_i, …, X_n } путем расстановки их в порядке возрастания от X _min до X _max. Таким образом, выполняется условие

X _min = Z ₁ … = < Z_i < = … = < Z_n = X _max. (7.2)

Заметим, что наиболее удобно обрабатывать вариационный ряд с помощью пакета EXCEL.

Допустим, что в нашем случае на основании экспериментальных данных получен следующий вариационный ряд (табл. 7.2).

Таблица 7.2

№№	Эксперимент	Вариационный ряд	Расчет интервалов	№ интервала	К-во значений Nm в интервале	Частота fm, %
	R эксп, Ом	Zi, Ом	K = 1+ 3,2× ln 100 = 15,7 ≈ 16 Z min = 26,34 Ом; Z max = 40,15 Ом; D R инт = (40,15-26,34)/16 ≈ ≈ 0,86 Ом   Примерные границы интервалов: 1: 26,3 --- 27,2 2: 27,2 ---28,06 … 15: 38,48---39,29 16: 39,29---40,15			1·100/100 = 1
	30,25	26,34			1·100/100 = 1
	29,45	27,32			3·100/100 = 3
	36, 51	…
…		28,54
…	26,34	29,45
	40,15	…
…		…
…		…
	29,54	30,25
	27,32	…
…		…
	31,35	31,35
...		36, 51
	28,54	…
	37,45	40,15
Всего, %

4.Послепостроения и записи (в лабораторной тетради) вариационного ряда приступаем к подготовке расчетных данных для построения гистограммы выборки, которая, как указано выше, представляет собой график зависимости вероятности f обнаружения в выборке того или иного значения параметра (сопротивления резистора R _i, емкости конденсатора C_i, индуктивности L_i).

Гистограмму выборки (например, сопротивления резисторов) строим следующим образом (табл. 7.2):

а) диапазон значений от R _min до R _max разбиваем на определенное количество интервалов K, число которых определяем (округляя) с учетом известного числа элементов выборки по оценочной формуле

K = 1 + 3,2×ln N, (7.3)

где ln N – натуральный логарифм числа N (при N = 100 значение K округляют до ближайшего целого числа; K ≈ 16);

б) определяем длину интервала на оси Δ X _инт:

Δ X _инт = (X _max - X _min)/ K, (7.4)

где Δ X _инт также округляем для удобства вычислений (D R _инт ≈ 0,86 Ом);

в) точку, соответствующую середине области изменения выборки (центр распределения) Х ≈(X _max + X _min)/2, принимаем за "центр" выборки и центр некоторого интервала, после чего находим границы и окончательное количество (значение K может быть скорректировано) интервалов, так, чтобы они в совокупности перекрывали всю область от X _min до X _max (на оси Х желательно отметить начало и конец каждого интервала);

г) проводим анализ построенного вариационного ряда.

Подсчитываем число N_m экспериментальных значений, например, сопротивлений, попавших в каждый интервал между Х_m и (X_m + Δ X _инт), причем N_m равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство

X_m =< Z_i = < Х_m + Δ X _инт, (7.5)

где Х _m и (X _m + Δ X _инт) – границы m -интервала.

Отметим, что значения Z_i, попавшие на границу между (m – 1) и m -интервалами, относят к m -интервалу;

д) подсчитываем относительную частоту

f_m = N_m ·100/ N (%), (7.6)

как относительное количество наблюдений, попавших в m -й интервал.

Например, если при N = 100, в первый (от минимального значения) интервал попало 3 значения, то значение f ₁ = 3/100 = 0,03 или 3 %.

е) Выбираем оси: ось абсцисс - исследуемый параметр, например, R, (Ом, кОм) - диапазон измеренных значений сопротивлений; ось ординат – частота попадания f_m в тот или иной интервал значений.

Масштаб на осях зависит от полученных расчетных экспериментальных значений, например, максимальное значение f _маx частоты определяет масштаб оси ординат (рис. 7.2).

ж) строим гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m -интервале равно f_m (рис. 7.2);

з) через ″верхние″ значения "ступеней" проводим плавную линию, которая завершает построение гистограммы.

При малых значениях N кривая f_m (X) (рис. 7.2) может значительно отличаться от теоретической зависимости (7.1). Максимальному значению f _max соответствует наиболее вероятное значение Х _вер в данной выборке. При увеличении значения n гистограмма переходит в плавную кривую f (X), которая описывается зависимостью (7.1) кривой Гаусса (рис. 7.1, б).

Границы по оси X, соответствующие значению среднего квадратического отклонения σ, примерно определяем исходя из условия, что в интервал (X _вер - σ,…, X _вер + σ) попадает примерно 68 % всех значений.

Рис. 7.2. Гистограмма, построенная по экспериментальным данным

С учетом гистограммы, приведенной на рис. 7.2, рассчитываем величину среднего квадратического отклонения: σ = (35,1 – 30,5)/2 ≈ 2,3 Ом.

На практике экспериментальное распределение может отличаться от распределения Гаусса в силу различных причин, в том числе, малого числа N.

Экспериментальное значение допуска D определяем по соотношению

D» 3σ·100/ Х _ср, %. (7.7)

Т.е. по экспериментальным данным можно оценить значение
D = 3·2,3·100/33 ≈ 20 %. Следовательно, можно сделать вывод, что исследуемая выборка резисторов описывает ряд E 6, значение сопротивления исследуемой выборки составляет R _н = 30 Ом ± 20 % = (30 ± 6) Ом.

Дата добавления: 2015-07-17