Степенные ряды

Мы уже знакомы с понятием числового ряда, научились исследовать числовые ряды, т.е. бесконечные суммы чисел, на сходимость. Теперь мы обобщим понятие суммы бесконечного числа слагаемых на тот случай, когда суммируются функции.

Определение. Формально записанная сумма бесконечного числа функций , определенных на одном и том же отрезке называется функциональным рядом:

при

Определение. Будем говорить, что функциональный ряд сходится в точке если после подстановки во все функции числовой ряд сходится.

Определение. Областью сходимости функционального ряда называется множество точек из отрезка в которых функциональный ряд сходится.

На практике широкое применение нашли несколько видов функциональных рядов:

─ степенные ряды, например,

─ ряды Фурье, например,

В основе рядов Фурье лежат периодические тригонометрические функции, а они отражают колебания, поэтому такие ряды широко используются в физике. Мы же подробно остановимся на степенных рядах.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида:

где ─ это числа, которые называются коэффициентами степенного ряда.

Заметим, что какими бы ни были коэффициенты степенного ряда, одна точка, в которой ряд сходится, всегда существует. Это Давайте подставим нуль в формулу степенного ряда:

Здесь мы выделили нулевое слагаемое, поскольку

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно при всех удовлетворяющих неравенству Если же степенной ряд расходится в точке то он расходится при всех удовлетворяющих неравенству

Пример. Рассмотрим ряд Для начала возьмем несколько значений переменной и посмотрим, какие числовые ряды получатся после подстановки:

– при получается ряд – это геометрический ряд. Геометрические ряды мы с вами подробно исследовали и знаем, что геометрический ряд вида сходится только, если знаменатель по модулю меньше единицы, т.е. В данном случае что по модулю больше единицы, а значит ряд расходтся.

– при степенной ряд принимает вид у этого геометрического ряда следовательно, ряд сходится.

Давайте изобразим полученные результаты на чиcловой прямой:

Точки, в которых степенной ряд сходится, изображены закрашенными кружочками, те, в которых расходится – полыми. А теперь применим теорему Абеля: раз при степенной ряд сходится, значит, он сходится абсолютно при всех удовлетворяющих неравенству Изобразим это множество точек на прямой штриховкой.

Из второй части теоремы следует, что ряд расходится при всех удовлетворяющих неравенству Это множество заштрихуем под числовой прямой.

На рисунке видно, что неисследованными остались два интервала: и . Что же будет происходить если мы продолжим исследование? Рассмотрим, например, В этой точке ряд расходится, следовательно, мы можем расширить область расходимости ряда, как показано на рисунке.

Если же рассмотреть точку то расширится область сходимости.

Продолжая эту процедуру дальше придем к тому, что области сходимости и расходимости будут разделены не интервалами, а точками. В данном примере такую роль играют точки 1 и ─1. В общем случае эти точки обозначим и

	- R		R

Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется неотрицательное число такое, что при степенной ряд сходится абсолютно, а при – расходится.

Таким образом, если известен радиус сходимости степенного ряда, то его поведение определено во всех точках, кроме двух: и О поведении ряда в этих точках заранее ничего сказать нельзя, поскольку возможны любые варианты: сходится абсолютно, сходится условно или расходится. При исследовании степенного ряда необходимо отдельно подставить эти точки и исследовать возникающие числовые ряды. Учитывая то, что областью сходимости степенного ряда может быть один из четырех промежутков: или говорят об интервале сходимости степенного ряда.

Теорема о радиусе сходимости степенного ряда. Если, начиная с некоторого номера все коэффициенты степенного ряда отличны от нуля, то радиус сходимости ряда может быть найден как предел отношения абсолютных величин коэффициентов:

Доказательство. Для исследуемого степенного ряда выпишем ряд из модулей и исследуем его для каждого фиксированного значения по признаку Даламбера. Рассмотрим предел

Согласно признаку Даламбера знакоположителный числовой ряд сходится, если предел отношения его последующего члена к предыдущему меньше единицы, т.е.

Мы получили условие, при котором сходится ряд из модулей членов степенного ряда, следовательно, сам степенной ряд при этих же условиях сходится абсолютно. С другой стороны, по признаку Даламбера ряд расходится, если тот же предел больше единицы, что в нашем случае дает условие:

Мы уже обсуждали, что у рядов, которые по признаку Даламбера расходятся, на самом деле, невыполнено необходимое условие сходимости, и этот факт позволяет утверждать, что мы получили условие, при котором расходится не только ряд из модулей степенного ряда, но и сам степенной ряд. Таким образом, мы нашли число удовлетворяющее определению радиуса сходимости степенного ряда. Ч.т.д.

Пример. Найти область сходимости ряда

Начинать решение такой задачи следует с отыскания радиуса сходимости ряда по теореме о радиусе сходимости степенного ряда.

Следовательно, при степенной ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится. Неисследованными остались две точки и Выпишем числовые ряды, которые возникают при подстановке этих точек:

(1) и (2)

Мы получили хорошо знакомые нам ряды, они расходятся, поскольку для них не выполнено необходимое условие сходимости.

Таким образом, область сходимости степенного ряда имеет вид:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости степенного ряда:

Следовательно, при степенной ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится. Неисследованными остались две точки и Выпишем числовые ряды, которые возникают при подстановке этих точек:

(1) и (2)

Обратите внимание на особенность этих рядов: ряд (2) является рядом из модулей для ряда (1). Так всегда связаны числовые ряды, возникающие при подстановке и поэтому при исследовании начинать удобно со знакопостоянного ряда, а потом результат использовать для знакопеременного ряда.

Начнем исследование с ряда (2). Этот ряд необходимо сравнить с обобщенным гармоническим рядом при т.е. который сходится. Здесь можно применить как обычный признак сравнения, так и предельный. Сравним члены ряда (2) и члены эталонного ряда:

Следовательно, по признаку сравнения из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость ряда с меньшими членами, т.е. степенной ряд в точке сходится.

Чтобы исследовать ряд (1), заметим, что его ряд из модулей совпадает с рядом (2), а следовательно, сходится, что позволяет утверждать, что знакочередующийся ряд (1) сходится абсолютно.

Таким образом, область сходимости степенного ряда имеет вид:

Пример. Найти область сходимости ряда

Находим радиус сходимости степенного ряда:

Следовательно, при степенной ряд сходится абсолютно, а при ряд расходится. Неисследованными остались две точки и Выпишем числовые ряды, которые возникают при подстановке этих точек:

(1) и (2)

Начнем с ряда (2), он знакоположительный и его можно исследовать с помощью предельного признака сравнения. В качестве эталонного рассмотрим гармонический ряд

Т.к. предел отношения членов исследуемого ряда и эталонного равен 1, по предельному признаку сравнения ряды ведут себя одинаково. Гармонический ряд расходится, следовательно, и ряд (2) тоже расходится.

Теперь рассмотрим знакочередующийся ряд (1), для него расходящийся ряд (2) является рядом из модулей, следовательно, ряд (1) не сходится абсолютно. Чтобы проверить сходится ли он вообще, воспользуемся признаком Лейбница.

1) Необходимое условие сходимости:

2) монотонное убывание абсолютных величин членов ряда:

Таким образом, условия признака Лейбница выполнены, следовательно, ряд (1) сходится. Но мы уже знаем, что абсолютной сходимости нет, т.е. сходится он условно.

Область сходимости степенного ряда имеет вид:

Определение. Будем говорить, что степенной ряд сходится к функции на интервале и писать если для любой точки выполнено равенство

Пример. Найти сумму ряда

Выше было показано, что область сходимости этого ряда и при каждом из области сходимости возникает геометрический ряд. Для геометрического ряда известно, что Таким образом,

Теорема. Степенной ряд в интервале его сходимости можно дифференцировать почленно неограниченное число раз, причем получающиеся степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Теорема. Степенной ряд можно неограниченное число раз почленно интегрировать в пределах от 0 до если из интервала сходимости ряда, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Пример. Найти сумму ряда

Выше было показано, что область сходимости этого ряда Преобразуем ряд:

Ряд, котоый возник после вынесения за знак суммы, является производной от ряда т.е.

В предыдущем примере было показано, что следовательно, таким образом, для исходного ряда получаем:

Теорема. Если функция дифференцируема в точке неограниченное число раз, то она может быть представлена в виде ряда Маклорена

Следует отметить, что как всякий степенной ряд в точке ряд Маклорена всегда сходится и, это видно из формулы, его сумма равна значению функции в нуле. Но прежде чем применять разложение для других значений необходимо найти радиус сходимости ряда и убедиться, что рассматриваемая точка принадлежит области сходимости.

Доказательство. Предположим, что нам удалось представить функцию в виде некоторого степенного ряда:

Будем искать коэффициенты исходя из предположения, что и сам ряд, и все его производные в нуле должны быть равны соответствующим значениям исходной функции и ее производных. Прежде всего, подставим нуль в саму функцию:

Мы получили значение нулевого коэффициента. Теперь будем считать производные и выводить формулы для последующих коэффициентов:

и т.д. Общая формула для коэффициентов ряда Маклорена будет иметь вид:

После подстановки полученных выражений в формулу ряда получаем:

Ч.т.д.

Ряды Маклорена для некоторых основных функций:

1) область сходимости

2) область сходимости

3)

область сходимости

Доказательство. Выведем ряды для показательной и логарифмической функций.

1) Посчитаем производные функции и их значения в точке

Теперь эти значения подставляем общую формулу ряда Маклорена:

2) Рассмотрим

А теперь заметим, что функция является суммой ряда Теперь воспользуемся теоремой о почленном интегрировании степенного ряда:

Ч.т.д.

Практическое применение рядов Маклорена связано с приближенными вычислениями. С помощью приведенных выше рядов можно посчитать примерное значение и а так же значения некоторых определенных интегралов, например, Приближенное значение получается, когда вместо точного значения функции, которое сложно посчитать, рассматривается какая-либо частичная сумма соответствующего степенного ряда:

Но при таком отбрасывании бесконечного числа слагаемых неизбежно возникает погрешность.

Определение. Погрешностью приближенного вычисления называется величина

Во многих случаях оценивать погрешность помогает следующая теорема.

Теорема о погрешности. Если у знакочередующегося ряда все члены по абсолютной величине монотонно убывают, то погрешность не превышает модуля первого отброшенного члена:

Пример. Вычислить с точностью до 0,01 значение

Представим как тогда можно воспользоваться разложением в ряд Маклорена функции Область сходимости этого ряда следовательно, его можно применять при

Выпишем ряд:

Получившийся ряд – знакочередующийся, и последнее слагаемое оказалось меньше погрешности

следовательно, по теореме о погрешности, если в качестве приближенного значения рассмотреть сумму первых четырех слагаемых, то требуемая точность будет достигнута.

Пример. Вычислить взяв первые три члена разложения подинтегральной функции в ряд Маклорена, оценить погрешность.

Рассмотрим ряд Маклорена функции

Чтобы получить разложение подинтегральной функции, выполним замену переменной

Теперь первые три члена разложения подставим в интеграл:

Поскольку ряд оказался знакочередующимся, для оценки погрешности можем применить теорему о погрешности:

Дата добавления: 2015-07-16