Физическая модель.

Метод молекулярной динамики.

Пусть дана система N, частиц, заключенных в некотором объеме.

Задача: исследовать состояние системы в произвольный момент времени, если задано состояние системы в начальный момент времени.

Для упрощения задачи, используем физическую модель:

1) Молекулы вещества являются химически инертными.

2) Движение молекул классическое и подчиняется законам Ньютоновской механики.

3) Сила взаимодействие между молекулами зависит только от расстояния между ними.

4) В простейшем случае будем считать, что F(r), r =|r_ij|=|r_i-r_j|.

5) Будем считать, что энергия потенциального взаимодействия является суммой потенциальных энергий парных взаимодействий.

6) . В качестве U(r) выбирается потенциал Леннарда –Джонса:

,где

U_o- глубина потенциальной ямы.

-эффективное сечение молекул.

Примерный график потенциала Леннарда- Джонса:

Математическая модель.

Математическая модель системы частиц представляет собой систему дифференциальных уравнений с начальными условиями(Задача Коши). Вспомним, что в рамках нашей задачи , пусть . Тогда запишем:

.

Теперь можно записать систему дифференциальных уравнений для двумерного случая:

+Начальные условия.

Численный алгоритм (Алгоритм Верле).

Запишем алгоритм для одномерного случая (в последствии его легко распространить на многомерный случай).

+Н. У.

1) Используем формулу .

2) Вычисляем ускорение .

3) Считаем скорость по формуле: .

4) GOTO п.1)

Измерение макроскопических величин.

Равновесное макросостояние можно характеризовать такими параметрами, как температура Т, среднее давление P, а также объемом и полной энергией.

Температура.

Из теоремы о равнораспределении: каждый квадратичный член, входящий в выражение для энергии классической системы, находящейся в равновесии при температуре Т, имеет среднее значение (k_B- постоянная Больтсмана), где сумма берется по всем N частицам и d компонентам скорости. В данной работе температура измеряется в ( =119,8 К).

Давление.

Рассмотрим два метода определения среднего давления в системе. В первом методе, мы предполагаем, что частицы находятся в резервуаре с жесткими стенками. Средняя сил, действующая на единичную площадку вследствие соударения с ней частиц, и есть давление P вещества: , где F_n обозначает нормальную компоненту силы, dA – элемент поверхности. Нужно сказать, что определить давление таким способом можно и при отсутствии жестких стенок, представив силу, как разность количества движения, протекающего через dA.

Другой способ определения давления из теоремы вириала:

,

где r_i-координата i-ой частицы, F_i-полная сила, действующая на частицу I со стороны других частиц.

Простые свойства переноса.

Рассмотрим некоторые динамические свойства жидкости находящейся в равновесном состоянии. Пусть r_i(t) координата i-ой пробной частицы жидкости. Известно, что если суммарная сила, действующая на частицу равна нулю, тогда её смещение растет линейно со временем. Однако в жидкости, ввиду множества соударений между частицами, среднее суммарное смещение частицы будет равно нулю.

Пусть R(t)² величина среднего квадрата смещения, равная: , где t=t₂-t₁, и усреднение проведено по всем частицам. Зная зависимость R(x)² от t, можно определить коэффициент самодиффузии D: R(t)²=2*dD*t (при t>>∞). Для достаточно больших t, величина R(t) растет как t^1/2.

Далее листинг программы, который здесь не приведен (отдельный файл)

Результаты:

1. При наблюдении за «меченой» частицей выяснилось, что она, претерпевая множество соударений, движется хаотически и во всех направлениях. Именно поэтому нам целесообразнее находить средний квадрат смещения, а не просто смещение, т.к. последнее будет равно нулю.

2. Вычислить R(t)² с интервалом в пять шагов по времени. Вычислить среднюю температуру и давление.

Внимательно следя за температурой системы, энергией и давлением, а также визуально наблюдая за поведением частиц в системе, дожидаемся наступления состояния равновесия системы.

; ;

Средний квадрат смещения: .

Температура системы: .

Давление в системе, через вириал: , где -глубина потенциальной ямы.

3. Начертить R(t)² как функцию t. Проанализировать форму графика. Получить D для двух разных температур.

Для начала, предположим, что у нас реальное вещество, например инертный газ Аргон. Последнее предположение не требует вносить в программу молекулярной динамики какие-либо изменения, т.к. данная программа работает с безразмерными величинами.

Параметры:

Температура кипения аргона -185.9 С, или 87.7 К.

1)Воспользуемся начальными условиями:

Линейные размеры области взаимодействия частиц: Lx=10 , Ly=10 .Число частиц в области: 20. Максимальная скорость 5.

Проверим, какому состоянию соответствуют данные начальные условия для аргона:

для объема или для плоскости. Т.е для N=5 мы получим .

Для аргона при нормальных условиях плотность равна для объема.

Т.е с хорошей точностью можно сказать, что аргон при данных начальных условиях находиться в газообразном состоянии.

Максимальная скорость в системе СИ в нашем случае равна .

Построим график R(t)² от t:

График зависимости R(t)² от времени t=t₂-t₁.

Т.к. от нас требуется найти только характер R(t)², то переводить полученные значения в систему СИ не требуется.

Таблица результатов:

№	R(t)^2,	t,	№	R(t)^2	t,
	0,00819	0,050		0,36590	0,290
	0,01282	0,060		0,43970	0,300
	0,01859	0,070		0,46173	0,310
	0,02573	0,080		0,41883	0,320
	0,03298	0,090		0,44792	0,330
	0,04289	0,100		0,55789	0,340
	0,05249	0,110		0,59919	0,350
	0,06433	0,120		0,50562	0,360
	0,07540	0,130		0,61507	0,370
	0,09460	0,140		0,69481	0,380
	0,11097	0,150		0,74377	0,390
	0,11857	0,160		0,80993	0,400
	0,13703	0,170		0,84760	0,410
	0,15149	0,180		0,70848	0,420
	0,16557	0,190		0,84677	0,430
	0,17024	0,200		0,97679	0,440
	0,19021	0,210		1,02198	0,450
	0,19819	0,220		1,05921	0,460
	0,24913	0,230		1,12149	0,470
	0,27706	0,240		1,12103	0,480
	0,28930	0,250		1,21428	0,490
	0,32142	0,260		1,19186	0,500
	0,32257	0,270		1,16745	0,510
	0,35771	0,280		1,02567	0,520
				1,30434	0,530
				0,87882	0,540

Вспомним, что R(t)²=2*d*D*t, где d-размерность пространства, находим D.

Тогда для того, чтобы посчитать коэффициент самодиффузии, можно воспользоваться методом наименьших квадратов для графика R(x)² .Тангенс угла наклона равен k=2*d*D, тогда:

D=к/4=0,427 ;

T=1.63 =195.27K;

Найдем D для данных условий еще 4-ре раза и усредним результат:

№	D
	0.427
	0,483
	0,404
	0,512
	0,431
<D>	0,451

D=0,451 ;

Получим D для другой температуры:

Пусть v=2, тогда:

D= 0,120 ;

T=0.34 =40.73K;

Дата добавления: 2015-07-16