Задача о преследовании вертолетом катера, находящегося в водовороте

Пограничный вертолет E преследует катер P пиратов. Катер относительно воды может двигаться в любую сторону со скоростью , величина которой ограничена числом b > 0. Катер попал в водоворот. Это значит, что сама вода совершает круговые движения вокруг некоторой заданной точки O с постоянной угловой скоростью w. Вертолет может двигаться в любом направлении со скоростью , величина которой ограничена числом a > b. Цель вертолета заключается в том, чтобы догнать катер.

Движение катера.

Пусть в момент времени t катер находится в точке K (см. рис.2.1). Пусть на промежутке времени от t до t + t, t > 0 катер выбрал скорость относительно воды равную . В момент времени t + t катер окажется в точке K ₁,которая определяется из условия

= + . (2.1)

Здесь вектор получается поворотом вектора на угол t w, а вектор = t .

Рис.2.1

Точка прицеливания.

Рис.2.2

Зафиксируем некоторое число T > 0 и рассмотрим в момент времени 0 ≤ t ≤ T точку P, которая получается из точки K при повороте вектора на угол . Аналогично, точка получается из точки при повороте вектора на угол . Из формулы следует, что точку можно получить следующим образом:

1. Повернуть вектор на угол . Но это всё равно, что если повернуть вектор на угол . Следовательно, при повороте вектор на угол попадает в точку P.

2. Повернуть вектор = t на угол . Получим вектор , где вектор получается из вектора путем его поворота на угол . Величина вектора так же ограничена числом b.

3. Из равенства находим точку .

Таким образом, точка P движется с постоянной по величине скоростью , направление которой может изменяться в зависимости от изменения направления скорости .

Далее, при t = T точка P совпадает с точкой K. Поэтому, если в момент времени t = T догоняет точку P, то, следовательно, он догонит и катер.

Припишем вертолёту следующее правило выбора своей скорости: в каждый момент времени 0 ≤ t ≤ T: направлять свою скорость на точку P (см. рис.2.3), которую будем называть точкой прицеливания.

Рис.2.3

Такое управление гарантирует вертолёту поимку точки P, причём время поимки равняется начальному расстоянию между ними, деленному на разность скоростей

Нахождение момента времени T.

Пусть в начальный момент времени t = 0 катер находится в точке K, а вертолёт в точке E. Соответствующая моменту t = 0 точка прицеливания P получается поворотом вектора на угол ωT (см. рис.2.4).

Рис.2.4

Из треугольника OPE имеем, что

.

Обозначим . Тогда предыдущее равенство принимает вид

.

Поскольку временя преследования вертолётом точки прицеливания P равно

,

то для определения этого T получим уравнение

. (2.2)

Покажем, что уравнение (2.2) имеет положительный корень Т. Для этого рассмотрим функцию

Поскольку , то подкоренное выражение удовлетворяет неравенствам

Следовательно,

График функции f (t) имеет вид, изображенный на рис.2.5.

Рис.2.5

На рис.2.6 обозначено

,

Следовательно, уравнение f (t) = 0 имеет корень T Î[ a, b ].

Таким образом, если вертолет будет направлять свою скорость на точку P (см. рис.2.6), то в момент времени T он догонит катер.

Рис.2.6

---

Дата добавления: 2015-07-16