Свойства определителей третьего порядка.

1)Величина определителя не изменится, если его столбцы заменить строками, а строки столбцами, т. е. .

Операция замены столбцов определителя строками, а строк столбцами называется транспонированием. Учитывая предыдущее, свойство 1) можно сформулировать следующим образом:

при транспонировании определителя его значение не меняется.

► Сравнивая = + + -
- - и
, имеем ◄

Из этого свойства следует, что все свойства, справедливые для строк определителя, справедливы и для столбцов, и наоборот.

2) Теорема разложения.

Определитель равен сумме произведений элементов некоторой его строки на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е.

► Докажем теорему при .
= +
.◄

В силу свойства 1) теорема разложения может быть сформулирована следующим образом.

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого его столбца на соответствующие им алгебраические дополнения, т.е.

Замечание 1. Нетрудно проверить, что

или

.

Замечание 2. Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трёх определителей второго порядка.

3) Теорема аннулирования.

Сумма произведений элементов некоторой строки определителя на соответствующие алгебраические дополнения другой строки этого определителя равна нулю, т.е.

►Доказательство проведем при и

В силу замечания 1 свойства 2) имеем
◄

Замечание. Имеет место и следующее утверждение.

Сумма произведений элементов некоторого столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения другого столбца этого определителя равна нулю, т.е.

4) Если элементы некоторого столбца определителя содержат один и тот же множитель, то этот множитель можно выносить за знак определителя, т. е.

► Действительно,
◄

5) Если некоторый столбец определителя является суммой двух векторов, то определитель равен сумме определителей, у которых на месте этого столбца стоят векторы-слагаемые, а остальные столбцы остаются неизменными, т.е. .

►Действительно, ◄

6) При перестановке двух столбцов определителя абсолютное значение определителя остаётся неизменным, а знак его меняется на противоположный.

►Действительно, =

◄

7) Определитель, содержащий два одинаковых столбца, равен нулю.

►Докажем, что .

Поменяв местами одинаковые столбцы, имеем откуда ◄

8) Если один из столбцов определителя есть линейная комбинация других столбцов этого определителя, то определитель равен нулю.

►Действительно,
◄

9) Определитель не изменится, если к некоторому его столбцу прибавить линейную комбинацию других его столбцов.

► Действительно,
◄

10) Определитель =0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов определителя может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

►Пусть хотя бы один из столбцов определителя может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Не нарушая общности можно считать, что .

Тогда .

Докажем обратное. Пусть .

Если все миноры определителя равны нулю, то столбцы пропорциональны, откуда следует, что хотя бы один столбец можно выразить через остальные.

Пусть не все миноры определителя равны нулю.

Не нарушая общности можно считать, что . Тогда для =0 имеем (теорема аннулирования), (теорема разложения), (теорема аннулирования)

или . Так как , то столбец представим в виде линейной комбинации столбцов .◄

Замечание. В силу свойства 1) всё вышесказанное справедливо и для строк определителя.

С помощью доказанных свойств определитель третьего порядка можно преобразовать так, чтобы в некотором столбце (строке) стало два нулевых элемента. Тогда вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению одного определителя второго порядка.

Рассмотрим некоторые примеры применения свойств определителя.

● Пример 2. Вычислить определитель с помощью разложения по элементам второй строки.

Решение.

● Пример 3. Вычислить определитель , образуя нули во второй строке этого определителя.

Решение

1) Умножим первый столбец определителя на -2 и прибавим его ко второму столбцу.

2) Умножим первый столбец определителя на -3 и прибавим его к третьему столбцу.

3) Разложим определитель по элементам второй строки.

● Пример 4. Пользуясь свойствами определителя, доказать, что

.

Решение.

- из первой строки выносим , из второй , из третьей ;

- из третьего столбца выносим

-меняем местами второй столбец с третьим;

- меняем местами первый столбец со вторым.

Дата добавления: 2015-07-19