Пермь 2007

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Матрицы и определители

Индивидуальные задания

Пособие разработано ст. преп. Зубко Т. Я., доцентом Седовой С. М., доцентом Сулавко Т. С.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Задание к работе

1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Вычислить определитель высшего порядка.

3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы.

4. Выполнить действия с матрицами.

5. Вычислить значение многочлена от матрицы .

6. Найти неизвестную матрицу из уравнения.

Образец решения варианта.

1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило треугольников). Это правило заключается в равенстве

.

Таким образом,

2) Второе правило вычисления называется разложением по элементам некоторой строки (или столбца). Например, разложение по элементам первой строки имеет вид

.

Определитель

разложим по элементам третьего столбца, т.е.

.

Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства определителей. В определителе

умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к третьей, получим

.

2. Вычислить определитель высшего порядка

.

Решение:

Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой целью прибавим пятый столбец к первому:

;

в полученном определителе 4-го порядка четвертый столбец умножим на 3 и прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем

.

Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей высших порядков значительно упрощается, если определитель привести к треугольному виду.

3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы

.

Решение.

Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований: а) перестановка строк, б) умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на некоторое число. Ранг матрицы , , равен количеству ненулевых строк эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.

В первом столбце данной матрицы ниже первого элемента получим нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим первую строку матрицы на (–2) и прибавим ко второй строке, умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

.

В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку на (), или поделив на (–5), а затем во втором столбце ниже второго элемента получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–1), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–2), четвертую строку на (–1), имеем

.

Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, затем третью строку поделим на 9, четвертую строку поделим на 18. Во вновь полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем

.

Отсюда заключаем, что .

4. Выполнить действия с матрицами

.

Решение. Обозначим

, , , .

Произведение имеет смысл, так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем

.

Произведение имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Находим матрицу , элементы которой , . Имеем

.

Разность имеет смысл, так как матрицы и имеют одинаковую размерность . Находим искомую матрицу , элементы которой , . Имеем

.

Ответ: Результатом действия данных матриц является матрица

.

5. Вычислить значение многочлена от матрицы , где

, .

Решение.

При вычислении значения многочлена от матрицы вместо подставляем данную матрицу , а свободный член многочлена записываем в матричной форме, т.е. в виде , где единичная матрица того же порядка, что и данная матрица . Таким образом,

,

1)

,

2) ,

3) .

Имеем

.

Ответ: .

6. 1) Найти неизвестную матрицу из уравнения

.

Решение.

Дата добавления: 2015-07-19