Фильтрация газа через уплотняемую смесь.

Распределение напряжений по высоте формы можно определить, прежде всего, фильтрационными процессами. Скорость фильтрации зависит от пористости смеси. Свяжем пористость смеси с ее плотностью δ. Объем пор Vп = Vсм - Vск занимаемый смесью, Vск-суммарный объем зерен(скелета). Тогда

m = Vn/Vсм = 1 – Vск/Vсм

Выразим Vск, Vсм через массу скелета (зерен) Mск и Мсм смеси и их плотность δск и δ: Мсм = Мск + Мв

Где:

Мв - масса воздуха, находящегося в объеме Vсм.

Масса воздуха, находящегося в порах пренебрежимо мала по сравнению с Мск, поэтому можно принять, что Мсм = Мск.

Припористости 0.5 и нормальных условиях погрешность не превышает 0.005%), тогда

m = 1 - δ/ δск 1.8.

Зерно смеси - это кварцевая песчинка, покрытая тонкой оболочкой связующего, поэтому можно принять, что плотность скелета равна плотности кварца, т.е.

δск =2540кг/м**3 (погрешность для смеси, содержащей 10% глины и 5% воды,не превышает 3 %). Пористость рыхлой смеси (δ =1000кг/м**3) m=0.6063, уплотненной (δ =1650 - 1800кг/м**3) m = 0.3504 - 0.2913.

Рассмотрим процесс фильтрации газа через элементарный слой толщиной dy рис.2. Примем, что давление газа Po в верхнем сечении а-а больше давления Pв, в нижнем сечении в-в. Тогда из вышележащих слоев через сечение а-а за время dt в рассматриваемый слой попадает некоторое количество газа, равное Ма через сечение в-в вытечет количество газа, равное Мв. За тоже время масса газа, находящегося между двумя сечениями, изменится на

∂М = Ма – Мв = F*(ρа*vа - ρв*vв)*dt 1.9

где:

ρа, ρв - плотность газа соответственно в сечениях а-а и в-в:

vа, vв - скорости газа относительно смеси в тех же сечениях, условно отнесенные ко всему сечению F слоя.

С достаточной точностью можно принять, что в пределах слоя толщиной dy плотность и скорость газа изменяются по линейному закону, то есть

ρа = ρ – (∂Р/∂y)*dy/2

ρв = ρ – (∂Р/∂y)*dy/2

vа = v – (∂Р/∂y)*dy/2

vв = v – (∂Р/∂y)*dy/2

где

ρ, v – средние для слоя плотность и скорость газа.

Подставим эти значения в уравнение(1.9). Тогда

∂M/∂t = F*(P*∂v/∂y + v*∂Р/∂y)*dy 1.10.

С другой стороны, масса газа в слое M = m*ρ*F*dy

Так как рассматривается процесс истечения газа при уплотнении смеси, то значения ρ и m изменяются во времени. Найдем производную ∂M/∂tи приравняем ее к правой части уравнения(1.10). После преобразования и получим

∂P/∂t = - P/m* (∂v/∂y + v/ ρ* ∂P/∂y – 1/ δ*∂δ/∂y) 1.11.

Для политропного процесса можно записать

P/ ρ**n = Po/ ρo**n 1.12.

где n - показатель политропы

ρo -плотность газа при атмосферном давлении Рo и температуре 15 С

Решив совместно уравнение 1.11. и 1.12. получим:

∂P/∂t = - n*P/m*(∂v/∂y + v/n* ρ* ∂P/∂y – 1/ δск*∂ s /∂t) 1.13.

При фильтрации газа через пористую среду с развитой поверхностью создаются хорошие условия для теплообмена между газом и смесью. Поэтому для пневмоимпульсного уплотнения можно принять, что температура газа в процессе фильтрации остается постоянной, т. е. считать, что процесс изотермический, n = 1.(Эксперименты М.Л. Лептунова показали, что при пневмоимпульсном процессе температура газа изменяется всего на 3-4 гр. С).

При газоимпульсном процессе в верхних слоях формы происходит интенсивное охлаждение газа, для этих слоев форм n не равно 1.

Скорость газа или иначе скорость фильтрации зависит от перепада давления ∂P/∂y. Эту зависимость выражают с помощью эмпирических уравнений. Так при малой скорости фильтрации и ламинарном течении газа справедлив закон Дарси.

v = c/μв*∂P/∂y

Где:

с – коэффициент проницаемости пористой среды:

μв – коэффициент вязкости газа.

Для воздуха при Т = 273 μв = 1.77 10**(-5) Па* с

Физический смысл отношения к1 = с/μв тот же, что и физический смысл газопроницаемости Г, определяемой по стандартной методике на образцах, имеющих различную плотность. По стандартной методике единица измерения газопроницаемости (см**4/(г*с*мин)).

Для перехода в систему СИ можно использовать следующую зависимость:

к1 = с/μв = Г/6*10**7, м**2/Па*с 1. 14

Коэффициент С, а значит и коэффициент к1 зависят от плотности (пористости) данной смеси. В настоящее время нет достаточно достоверных данных, позволяющих связать эти два параметра. В первом приближении можно воспользоваться зависимостью, предложенной П. П. Бергом.

к1 = кк *(∂ к/δ) **zc 1.15.

где:

- кк при плотности смеси δк

- zc эмпирический коэффициент.

При динамических процессах уплотнения имеет место турбулентная фильтрация. Турбулентность возникает в отдельных поровых каналах из-за нарушения плавности обтекания песчинок: при увеличении скорости газа турбулентность постепенно охватывает весь объем смеси. Так как пористая среда неоднородна, то турбулентность в отдельных местах возникает при относительно малых скоростях газа, поэтому нет резкого перехода от ламинарного течения к турбулентному. Е. М. Минский нашел эмпирическое уравнение, связывающее коэффициент сопротивления со скоростью фильтрации и параметрами среды. После некоторых преобразований этого уравнения можно получить следующие зависимости:

∂P/∂y = - μв*v/c + - Ac*v**2 1.16.

Ac = 12*ρ*d**2/(10**5*m*c*c**0.5) 1.17.

где d – средний диаметр песчинки

Знак "-" подставляют при положительном значении,знак "+" при отрицательном.

При малой скорости второй член уравнения (1.16) мал иуравнение соответствует закону Дарси. При большой скорости второй член резко увеличивается и интенсивность изменения давления зависит в основном от квадрата скорости фильтрации.

Из уравнения (1.16) определяем скорость фильтрации:

v = (+ - μв/c - + ((μв/c)**2 + - 4* Ac* ∂P/∂y)**0.5)/2* Ac 1.18.

Здесь первые знаки сложения - вычитания берутся при ∂P/∂y>= 0 нижние при ∂P/∂y< 0.

Найдем теперь силу, действующую на объем газа, движущийся в элементарном слое смеси толщиной dy. Так как давление от вышележащих объемов газа к нижележащим передается как через поры, так и через частицы смеси, находящиеся в сечении, то на верхней плоскости слоя действует сила P*F см.рис.2.б. На нижнюю плоскость того же объема газа действует сила Р+∂P/∂y*dy*P. Как уже было сказано, при движении сквозь пористую среду газ испытывает сопротивление. Сила сопротивления, действующая в данном объеме газа, равна Q = R*ρ*m*F*dy

Где

ρ*m*F*dy - масса газа, находящегося в данном объеме смеси.

Сила направлена в сторону, противоположную направлению движения газа.

Газ движется с ускорением: тогда сила инерции объема газа, находящегося в слое, равна ∂w/∂t* ρ*m*F*dy

где

w – абсолютная скорость газа.

Составим уравнение равновесия сил, действующих в объеме газа (весом газа пренебрегаем), и, преобразуя его, получим:

∂w/∂t = - 1/ρ*m*∂P/∂y + R 1.19.

Этоуравнение – динамическое уравнение фильтрации газа, выраженное через абсолютную скорость газа.

Для установившегося потока ∂w/∂t = 0.

Тогда из уравнения (1.19) следует, что R =1/ρ*m *∂P/∂y.

Для неустановившегося потока

R = 1/ρ*m*∂P/∂y + ∂w/∂t 1.20.

При импульсном, как и при любом другом динамическом методе уплотнения смесь перемещается со скоростью v, а газ по каналам (порам) движется с абсолютной скоростью w. Действительная скорость движения воздуха относительно стенок каналов

vд =w - v. От этой скорости и зависит сопротивление фильтрации. Средняя (отнесенная ко всему сечению) относительная скорость

v = m* vд = m(w -v)

Тогда абсолютная скорость газа в порах

w = v/m + v 1.21.

Для уменьшения деления газа в нижних слоях формы на модельной плите обычно устанавливают венты-втулки с прорезями шириной 0.2-О.3мм. Через эти прорези удаляется воздух, песчинки же остаются в форме. При отсутствии вент относительная скорость газа на нижней границе v = 0.. При наличии вент скорость газа зависит отживого сечения венты, Масса Мг газа, прошедшего за время dt через слой смеси, примыкавшей к плите равна:

Мг = ρ*m*F*dt 1.22.

г де F- площадь формы

с другой стороны, М - определяется пропускной способностью вент:

Мг = μ*fв*Ψ*(P*ρ)**0.5*dt 1.23.

где

μ – коэффициент расхода

Ψ -функция отношения атмосферного давления Рa к Р газа на модельной плите.

Приравняем правые части уравнения (1.22) и (1.23) и проведем преобразования:

V = μ*fв*Ψ*(P*ρ)**0.5/(F* ρ) = μ*fв*Ψ*(P/ρ)**0.5/F 1.24.

Следует иметь ввиду, чторасчетная площадь щели fв отличается от еефактической площади. Часть щели перекрывается зернами смеси. Зерна не имеют форму шара, деформированы сжимающими напряжениями и покрыты оболочкой связующего, поэтому площадь щели закрытая зерном имеет большие размеры, чем в случае зерен, имеющих форму шара.

Системууравнения (1.13-1.21) решают численными методами, например, методом конечных разностей. При этом должна быть известна закономерность изменения давления Pi,j над смесью (где i – момент времени, j - номер слоя или его верхней границы: для верхнего слоя j =1).

Эта закономерность либо задается эмпирическим уравнением Pi,j = φ(t), либо определяется параллельно при одновременном расчете истечения газа из ресивера или подъема давления газа при его сгорании.

Пусть для i – момента времени известно распределение давления Pi,j по слоям. Определяем для каждого слоя

(∂P/∂y)i,j = (Pi,j – Pi,(j-1))*(hi,j + hi,(j+1))

Или

(∂P/∂y)i,j = (Pi,(j+1) – Pi,j)*hi,j

Параллельно для того же момента времени находим δi,j; si,j; si,(j+1); vi; v(j+1)

Значение ∂s/∂y находим с помощью уравнения (1.7),которое целесообразно преобразовать, для чего подставим в него значение R из уравнения (1.20) и продиффиренцируем третье и четвертое его слагаемые. После преобразования получим

∂s/∂y = - (2 - m)*∂P/∂y - ρ*m*∂w/∂t – δ*∂v/∂t – v*∂δ/∂t – v**2*∂s/∂y – 2* δ*v*∂v/∂t + g* δ - ζ*f*П/F*s 1.25.

Для верхней границы столба смеси принимаем, что si,j = 0. Эксперименты показывают, что это допущение приемлемо для потока газа, скорость которого не превышает скорости распространения звука в данной среде. Возможно, что при большей скорости потока (например, при использовании сопла Лаваля) si,j > 0.

Затем определяем пористость mi,газопроницаемость кi,j, проницаемость ci,j смеси относительную среднюю vi,j и абсолютную wi,j скорости газа в данном слое (см. уравнения (1.8), (1.15), 1.14),(1.18) или (1.25),(1.21).

С помощью уравнения (1.20), где ∂w/∂t = (wi,j – w(i+1),j)/Δt находим удельное сопротивление R. Далее для каждого слоя (кроме первого) определяем (∂P/∂y)i,j (см. уравнение (1.22)) и, наконец

P(i+1),j = Pi,j + (∂P/∂y)i,j * Δt

Цикл расчета окончен, переходим к расчету параметров для следующего момента времени.

Дата добавления: 2015-07-19