Решение СЛАУ методом простых итераций.

Рассмотрим систему вида , (6.1)

где – матрица, а и – -мерные векторы-столбцы.

Преобразуем (6.1) к эквивалентной ей системе вида

(6.2)

где и — некоторые новые матрица и вектор соответственно.

Определим последовательность приближений к неподвижной точке рекуррентным равенством (6.3)

Итерационный процесс (6.3), начинающийся с некоторого вектора , называется методом простых итераций (МПИ).

Условия сходимости МПИ представлены в следующих теоремах.

Теорема 6.1. Необходимым и достаточным условием сходимости метода простых итераций (6.3) при любом начальном векторе к решению системы (6.2) является требование, чтобы все собственные числа матрицы были во модулю меньше 1.

Теорема 6.2. Пусть . Тогда, при любом начальном векторе МПИ (6.3) сходится к единственному решению задачи (6.2) и, при всех , справедливы оценки погрешности:

1. (апостериорная);

2. (априорная).

(Одно и то же обозначение здесь используется для матричных и векторных норм, согласованных между собой, т.е. таких, что ).

Замечание 6.1. Априорная оценка позволяет подсчитывать заранее число итераций k, достаточное для получения решения с заданной точностью (в смысле допустимого уровня абсолютных погрешностей) при выбранном начальном векторе . Для этого нужно найти наименьшее целое решение неравенства

Относительно переменной (или неравенства в соответствии с результатом предыдущего замечания). Апостериорной же оценкой удобно пользоваться непосредственно в процессе вычислений и останавливать этот процесс, как только выполнится неравенство

Отметим, что неравенство будет гарантией выполнения неравенства только в том случае, когда .

Априорная оценка, как правило, грубее апостериорной.

Замечание 6.2. Как установлено выше, сходимость МПИ (6.3) при условии гарантируется при любом начальном векторе . Очевидно, итераций потребуется тем меньше, чем ближе к . Если нет никакой дополнительной информации о решении задачи (6.2), за х ⁽⁰⁾ обычно принимают вектор свободных членов системы (6.2).Мотивация этого может быть такой: матрица «мала», значит вектор «мал», следовательно и вектор не должен сильно отличаться от вектора . При выборе фигурирующая в теореме 6.2 априорная оценка принимает вид

Дата добавления: 2015-12-01