Законы Кирхгофа

В теории цепей различают два типа задач: задачи анализа и синтеза электрических цепей. К задаче анализа относятся все за­дачи, связанные с определением токов, напряжений или мощностей в элементах цепи, конфигурация и параметры которой известны. В задачах синтеза, напротив — известны токи и напряжения в от­дельных элементах и требуется определить вид цепи и ее па­раметры, т. е. синтез является обратной задачей по отношению к анализу. Следует отметить, что задача синтеза существенно слож­нее задачи анализа и будет рассмотрена в гл. 16.

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа.

Первый закон - закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды. Он гласит: алгебраи­ческая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электри­ческой цепи, равна нулю. Формально это записывается так:

где т -число ветвей, сходящихся в узле.

В уравнении (1.16) токи, одинаково ориентированные относи­тельно узла, имеют одинаковые знаки. Условимся знаки выходя­щих токов считать положительными, а входящих - отрицательны­ми.Тогда, например, для узла 1 схемы, изображенной на рис. 1.11, a, согласно ЗТК — i₁ + i₁ + i з = 0. Число независимых уравнений, составляемых по ЗТК, равно числу независимых узлов электрической цепи и определяется уравнением (1.14).

Закон токов справедлив и по отношению к сечениям электри­ческой цепи. Покажем это на примере сечения Sз (рис. 1.13, а). Запишем ЗТК для узлов 1 и 2:

для узла 1: — i₁ + i₂ + i з ⁼ 0;

для узла 2: — i з + i₄ + i₅ = 0.

Сложив между собой эти уравнения, получим ЗТК для сечения 5з:

— i₁ + i₂ + i₄ + i₅ = 0.

Второй закон — закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формули­руется по отношению к контурам и гласит: алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре равна нулю:

где п - число ветвей, входящих в контур.

В уравнении (1.17) напряжения, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком «+», а не совпадающие — со знаком «—».

Составим, например, уравнение по ЗНК для цепи, изображен­ной на рис. 1.11, а. В соответствии с направлением для контура I:

Общее число линейно-независимых уравнений, составляемых по ЗНК, определяется числом независимых контуров, равных числу хорд (см. (1.15)).

Уравнение ЗТК и ЗНК можно записать в матричной форме, ис­пользуя редуцированную структурную матрицу Ао и контурную матрицу В.

Закон токов получается путем перемножения матрицы Ао на матрицу-столбец токов ветвей:

Дата добавления: 2015-12-01