Критерий устойчивости Михайлова

Предложенный в 1938 г. А.В. Михайловым критерий позволяет судить об устойчивости системы по кривой, построенной на основании характеристического полинома замкнутой системы. В уравнении системы, замкнутой единичной обратной связью,

F(p)===

характеристическим полиномом является полином d_n(p):

d_n(p)=b_m(p)+a_n(p).

Нормированный полином D(p) имеет в общем случае вид:

D(p)=pⁿ+D_n-1р^n-1+...+D₁p+D₀. (1.11)

Этот полином можно разложить на множители:

D(p)=(p-p₁)(p-p₂)(p-p₃)...(p-p_n), (1.12)

где p₁, р₂,...,р_n - корни характеристического уравнения замкнутой системы:

pⁿ+D_n-1р^n-1+...+D₁p+D₀=0. (1.13)

Задача состоит в определении условий, при которых все корни характеристического уравнения d_n(p)=0 лежат слева от мнимой оси частотной плоскости.

На комплексной плоскости каждый из корней p_i изображается либо точкой (рисунок 1.3, а), либо вектором, проведенным из начала координат к этой точке (рисунок 1.3, б).

а - точкой; б - вектором; в - определение вектора (р—р_i)

Рисунок 1.3 - Изображение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и определение вектора (р—р_i)

Текущая координата p, являющаяся комплексным числом р=a+jw, геометрически также изображается вектором. Каждый множитель (р - р_i) выражения (1.12) для D(p), являющийся разностью двух векторов, представляет собой также вектор, начало которого находится в точке, определяющей корень р_i, а конец — в точке, соответствующей текущей координате р (рисунок 1.3, в).

Выражение (1.12) остается справедливым при любых значениях текущей координаты p и в частности при р=jw:

D(jw)=(jw-p₁)(jw-p₂)(jw-p₃)...(jw-p_n). (1.14)

Концы элементарных векторов (jw-p_i) в этом случае будут лежать на мнимой оси в точке р=jw, как изображено на рисунке 1.3, а, и с изменением w будут перемещаться вдоль этой оси. Длина (модуль) и угол поворота каждого из векторов (jw-p_i) при этом будут изменяться. Принято считать поворот вектора против часовой стрелки положительным. При изменении w от —¥ до +¥ каждый элементарный вектор (jw-p_i), начало которого (т. е. корень) лежит в левой плоскости, повернется на угол +p, а каждый вектор, начало которого находится в правой полуплоскости,— на -p (рисунок 1.3, б).

Поскольку функция D(jw) равна произведению элементарных векторов (jw-p_i), то и сама эта функция представляет собой вектор. Модуль вектора ô D(jw) ô, называемого характеристическим, равен произведению модулей элементарных векторов т. е.

ô D(jw) ô=ô jw-p₁ ôô jw-p₂ ôô jw-p₃ ô ... ô jw-p_n ô, (1.15)

а его аргумент — сумме аргументов этих векторов:

argD(jw)=arg(jw-p₁)+arg(jw-p₂)+...+arg(jw-p_n). (1.16)

Результирующее изменение arg[D(jw)] при изменении w от —¥ до +¥ зависит от расположения корней на частотной плоскости. Если все n корней характеристического уравнения замкнутой системы находятся в левой полуплоскости, что соответствует устойчивой системе, то arg[D(jw)] при изменении w от —¥ до +¥ изменяется на +n×p, т. е. вектор D(jw) повернется против часовой стрелки на угол n×p.

Если хотя бы один корень характеристического уравнения окажется в правой полуплоскости, что соответствует неустойчивой системе, то вектор D(jw) повернется на угол, меньший, чем n×p, при изменении w от —¥ до +¥.

На практике нет необходимости изменять w от —¥ до +¥, а достаточно ограничиться изменением w от 0 до +¥.

Характеристический полином D(p) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение фазы или аргумента D(jw) при изменении w от 0 до ¥ равно n×p/2, где n — степень полинома D(р).

Следовательно, система регулирования будет устойчива.

Если полное приращение аргумента D(jw) окажется меньше n×p/2, то система неустойчива.

Если все коэффициенты D(p) заданы и задано определенное значение частоты w, то величина D(w) изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами Re(w) и Im(w) или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты w менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и по направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова. Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения n (рисунок 1.4, а).

Критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать следующим образом: система автоматического управления будет устойчива, если годограф Михайлова при изменении w от 0 до +¥ последовательно пройдет n квадрантов против часовой стрелки, начиная от положительной вещественной оси, где n – степень характеристического уравнения замкнутой системы.Система, не удовлетворяющая этому условию, является неустойчивой.

а — устойчивых систем от 1-го до 5-го порядков;

б — системы, находящейся на границе устойчивости;

в ¸ д — неустойчивых систем;

Рисунок 1.4 - Годографы Михайлова

Число квадрантов, большее чем n×p/2, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора D(jw) оказывается меньшим, чем n×p/2.

На практике для построения годографа Михайлова используют исходное выражение характеристического полинома замкнутой системы, в которой p заменяют на jw. Кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты w и по формулам (1.18) и (1.19) вычисляются Re(w) и Im(w). Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая.

При этом получается характеристический комплекс:

D(jw)=Re(w) +j Im(w)=D(w)e^jf(w), (1.17)

где вещественная часть будет содержать четные степени w:

Re(w)=d₀-d₂w²+d₄w⁴-..., (1.18)

а мнимая — нечетные степени w:

Im(w)=d₁w-d₃w³+d₅w⁵-... (1.19)

Пример построения годографа Михайлова для системы третьего порядка, характеристический полином которой в замкнутом состоянии имеет вид:

D(p)=d₃p³+d₂p²+d₁p+d₀.

Введя замену р на jw, получают

D(jw)=d₀-d₂w²+jw(d₁-d₃w²)=Re(w) +j Im(w),

где Re(w)=d₀-d₂w²; Im(w)=w(d₁-d₃w²).

Определяют частоты в точках пересечения годографом Михайлова вещественной оси из уравнения

Im(w)=w(d₁-d₃w²)=0.

w₁=0; w₃=.

Частоты в точках пересечения годографом мнимой оси определим из уравнения

Re(w)=d₀-d₂w²=0.

w₂=.

Отрицательные значения корней отбрасываются, т. к. берется изменение w только от 0 до +¥. Найденные значения w₁ и w₃ подставляются в выражение для Re(w), а w₂ — в выражение для Im(w), определяя точки пересечения годографа с осями координат. По полученным точкам строится годограф.

Если окажется, что w₁<w₂<w₃, то система будет устойчива. Примерный вид годографа для этого случая изображен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Годограф Михайлова устойчивой системы третьего порядка

1.2.4 Критерий устойчивости Найквиста – Михайлова

Амплитудно-фазовый критерий устойчивости, первоначально разработанный в 1932 г. Найквистом для исследования усилителей с отрицательной обратной связью, в 1936 г. был обоснован, обобщен и впервые применен в теории автоматического управления А.В. Михайловым. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики системы в разомкнутом состоянии. Различают формулировки критерия для случаев, когда система в разомкнутом состоянии устойчива и неустойчива.

Для первого случая критерий устойчивости формулируется следующим образом: САР, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку на комплексной плоскости с координатами (-1, j0).

а – статических; б – астатических (n=1);

Рисунок 1.6 - Амплитудно-фазовые частотные характеристики САР

На рисунке 1.6 показаны амплитудно-фазовые частотные характеристики статических (а) и астатических (б) систем. Амплитудно-фазовые характеристики 1 не охватывают критическую точку, поэтому системы, имеющие эти характеристики, устойчивы. Амплитудно-фазовые частотные характеристики 2 охватывают точку (-1, j0), поэтому системы 2 неустойчивы. Амплитудно-фазовые частотные характеристики 3 проходят через критическую точку; соответствующие системы находятся на границе устойчивости.

Доказательство критерия.

Если передаточная функция системы в разомкнутом состоянии W(p)=, то передаточная функция замкнутой системы

F(p)=.

Рассмотрим вспомогательную функцию ¦(p):

¦(p)==, (1.20)

т. е. отношение характеристического полинома замкнутой системы к характеристическому полиному разомкнутой системы.

Числитель и знаменатель выражения (1.20) можно представить в виде сомножителей

¦(p)==,

где p₁,р₂,...,p_n – корни характеристического уравнения замкнутой системы;

p₁^',р₂^',...,p_n^' – корни характеристического уравнения разомкнутой системы.

Подстановкой jw вместо p в последнее выражение получается:

¦(jw)==.

При изменении w от 0 до +¥ каждый разностный вектор числителя и знаменателя поворачивается на p/2 или - p/2 в зависимости от того, где лежит соответствующий корень.

Предполагается, что разомкнутая система устойчива (устойчивость разомкнутой системы можно определить без всяких вычислений непосредственно по схеме системы; например, разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и не содержащая местных обратных связей, заведомо устойчива). В этом случае корни p_i находятся в левой полуплоскости и изменение аргумента C(jw) (поворот характеристического вектора разомкнутой системы) при изменении w от 0 до +¥ равно

Darg[а_n(jw)]=n×p/2,

где n- степень характеристического уравнения разомкнутой системы а_n(p)=0.

Изменение аргумента d(jw) при задании w от 0 до +¥ в общем случае равно

Darg[d_n(jw)]=(n-l)-l=(n-2×l),

где l – число корней в правой полуплоскости.

Изменение аргумента ¦(jw) равно разности изменений аргумента числителя и знаменателя:

Darg[¦(jw)]=Darg[d_n(jw)]-Darg[а_n(jw)]=(n-2×l)—n×=-l×p.

Система будет устойчива, если l=0, т. е. если Darg ¦(jw)=0.

Вектор ¦(jw) при изменении w от 0 до +¥ опишет угол, равный нулю, лишь в том случае, если годограф этого вектора не охватывает начала координат (рисунок 7).

От годографа ¦(jw) легко перейти к годографу W(jw), т. е. к АФЧХ разомкнутой системы. Действительно, выражение для ¦(jw) можем написать в следующем виде:

¦(jw)==1+W(jw),

где W(jw) – АФЧХ разомкнутой системы. Геометрически последнее выражение иллюстрируется рисунком 1.7.

а) годограф вектора ¦(jw); б) АФЧХ разомкнутойсистемы;

Рисунок 1.7 – Переход от годографа вектора ¦(jw) к АФЧХ разомкнутойсистемы

Таким образом, годограф вектора ¦(jw) представляет АФЧХ разомкнутой системы, но сдвинутую вправо на единицу. Поскольку удобнее пользоваться амплитудно-фазовой частотной характеристикой, а не годографом вектора ¦(jw), ось ординат переносится вправо на единицу, как показано на рисунке 7, б.

Изменение аргумента ¦(jw) при изменении w от 0 до +¥ будет равно нулю, если точка (-1, j0) находится вне АФЧХ разомкнутой системы. Отсюда следует формулировка частотного случая критерия устойчивости Найквиста – Михайлова: система автоматического управления, устойчивая в разомкнутом состоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФЧХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку (-1, j0).

Рисунок 1.8 - Годографы W(jw) для различных систем

На рисунке 1.8, а изображен случай так называемой абсолютно устойчивой системы. Этот термин означает, что система остается устойчивой при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функция разомкнутой статической системы может быть представлена в виде

W(p)=k.

Уменьшение общего коэффициента усиления k приводит к уменьшению модуля W(jw), а это в случае, изображенном на рисунке 1.8, а, не может привести к охвату годографом точки (-1, j0).

На рисунке 1.8, б изображен случай условно устойчивой системы. Здесь система будет устойчивой при значениях общего коэффициента усиления, лежащем в некоторых пределах. Как увеличение, так и уменьшение общего коэффициента усиления k может привести к охвату годографом точки (-1, j0), что будет соответствовать неустойчивости системы в замкнутом состоянии.

На рисунке 1.8, в изображен случай, когда система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытекает из того, что при некоторой частоте, при которой годограф пересекает точку (-1, j0), имеет место равенство W(jw)=-1+j0, что может быть записано в виде

1+W(jw)=0.

Последнее выражение представляет собой характеристическое уравнение, которое обращается в нуль при подстановке р=jw. Таким образом, чисто мнимый корень является решением характеристического уравнения.

На рисунке 1.8, г изображен случай неустойчивой системы.

Дата добавления: 2015-11-30