Критерий Михайлова

В критерии Михайлова исследуются частотные свойства характеристического многочлена: р =σ+ jω т.е. р = jω.

D(p) = b₀ рⁿ + b₁ р^n-1 + b₂ p^n-2 + … + b_n-1 p + b_n

D(p) – характеристический многочлен.

Разложим характеристический многочлен на сомножители:

b₀ (р – р₁) (р – р₂)* … (р – р_ί)* … (р – р_n)

На комплексной плоскости исследуем поведение вектора для р_ί корня при изменении р = -j∞ до р = j∞.

Оказывается для обеспечения устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при прохождении точки р = jω мнимой оси в положительном направлении от р = -j∞ до р = j∞ приращение аргумента D(p) было равно nπ – это и есть первая формулировка критерия Михайлова.

Если есть m неустойчивых корней, то приращение аргумента:

Δ arg D(jω) = (n-m)π –mπ =(n –2m) π

-∞ ≤ ω ≤ ∞

Разложим многочлен на действительную и мнимую части:

D(jω) = U(ω) + jV(ω)

U(ω) = b_n - b_n-2ω² +b_n-4ω⁴-…

V(ω) = b_n-1ω – b_n-3ω³ + b_n-5ω⁵-…

Оказывается действительная часть это четная функция: U(ω) = U(-ω),

а мнимая – нечетная: V(ω) = -V(-ω).

Поэтому годограф многочлена описывает симметричную относительно оси абсцисс кривую:

0 ≤ ω ≤ ∞

2-я формулировка критерия Михайлова: система будет устойчива, если при возрастании ω от 0 до ∞ вектор D(jω) повернётся на угол 0,5 nπ.

Δ arg D(jω) = 0,5[(n-m)π –mπ] =0,5(n –2m) π

0 ≤ ω ≤ ∞

3-я формулировка критерия Михайлова: для обеспечения устойчивости необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

a) U(0) = b_n > 0

б) V′(0) = dV/dω = b_n-1 > 0

в) Все корни уравнений: U(ω) = 0 и V(ω) = 0 действительные и перемежающиеся, т.е. между двумя соседними корнями V(ω) = 0 лежит один корень уравнения: U(ω) = 0.

Для того, чтобы аргумент годографа набрал 0,5nπ для устойчивой системы при его вращении, т.е. при изменении ω от 0 до ∞, он должен начать движение из точки, расположенной правее 0 (b_n > 0), и вращаться против часовой стрелки (в положительном направлении) (dV/dω = b_n-1 > 0) последовательно проходя все квадранты комплексной плоскости, пересекая по очереди все оси (корни U(ω) = 0 и V(ω) = 0 действительные и перемежающиеся).

Пример перемежаемости корней:

Существование комплексных корней уравнения, либо отсутствие перемежаемости свидетельствуют о неустойчивости системы. Поскольку для анализа устойчивости достаточно рассмотреть их поведение при изменении ω от 0 до ∞, то следует ограничиться определением неотрицательных корней уравнения.

Дата добавления: 2015-11-30