Выборки без возвращения

Выборка без возвращения объема из генеральной совокупности, содержащей элементов, называется размещением из по . Размещения из по отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их расположения. Для определения числа размещений из элементов по учтем, что первый элемент выборки может быть взят различными способами, второй - способом, …., а – й элемент - способами. Отсюда, используя правило умножения, получим

(1)

В частном случае, когда , все выборки без возвращения имеют одинаковый состав и отличаются лишь порядком расположения элементов. Такие выборки называются перестановками.

Число перестановок из элементов найдем, подставив в (1) .

Тогда (2)

Отличающиеся только составом элементов выборки без возвращения объема из генеральной совокупности, содержащей элементов, называются сочета -

ниями из по . Определим число сочетаний из элементов по . Очевидно, что выборку без возвращения объема , имеющую фиксированный состав элементов, можно упорядочить способами. Следовательно, больше

в раз. Отсюда

. (3)

При решении вероятностных задач часто используются следующие формулы:

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

В справедливости формул (4) и (5) нетрудно убедиться, подставив в них выражение (3). Равенства (6) и (7) следуют из формулы бинома Ньютона:

. (8)

Для получения равенства (6) необходимо в (8) подставить . Равенство (7) вытекает из (8) при .

Дата добавления: 2015-11-30