Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Выборки с возвращением

Читайте также:
  1. q Размер выборки. Погрешность
  2. Выборки без возвращения
  3. С ВОЗВРАЩЕНИЕМ ИЗ ВЬЕТНАМА, СЫНОК
  4. Тема 2. Числовые характеристики распределения выборки
  5. Формирование обучающей выборки

 

Выборка с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащей элементов, называется размещением с повторениями из по . Число размещений с повторениями из элементов по найдем из следующих соображений. Каждый элемент может быть выбран способами, а общее число способов формирования выборки объема подсчитывается на основании правила умножения. Следовательно,

.

Выборка с возвращением объема из содержащей элементов генеральной совокупности называется перестановкой с повторениями, если во все выборки элемент входит раз, элемент раз, …, элемент раз, причем . Определим число перестановок с повторениями. Для этого учтем, что элемент может быть выбран раз в ходе последовательных извлечений способами, элемент может быть выбран раз в ходе остальных извлечений способами, …, элемент может быть выбран раз в ходе извлечений способами и, наконец, элемент может выбран способом. Отсюда, используя правило умножения, запишем

 

. (10)

 

Подставив выражение (3) в (10), после сокращения получим

 

(11)

 

Выражение (11) можно получить и другим способом. Из элементов, составляющих выборку, можно сформировать перестановок. Однако из-за наличия в выборке повторяющихся элементов часть перестановок будет неразличима между собой. Так, неразличимыми являются перестановок, образованных взаимным обменом мест между элементами перестановок, образованных взаимным обменом мест между элементами , и т.д. Отсюда, используя правило умножения, приходим к выражению (11).

Отличающиеся только составом элементов выборки с возвращением объема из генеральной совокупности, содержащей элементов, называются сочетаниями с повторениями из по . Определим число сочетаний с повторениями из элементов по . Для этого расположим элементы выборки в один ряд, причем вначале поместим все входящие в выборку элементы , затем все входящие в выборку элементы и т. д. На границах между элементами различных типов будем устанавливать не входящий в генеральную совокупность пограничный элемент . При этом, даже в случае отсутствия в выборке каких-либо элементов генеральной совокупности, границы их возможного расположения будем отмечать элементами .

Например, при и в числе различных по положению пограничных элементов выборок будут и такие:

 

 

Таким образом, число пограничных элементов, вносимых в каждую выборку, должно быть на единицу меньше числа элементов генеральной совокупности, а общее число элементов выборки и пограничных элементов равно . Очевидно, что число выборок с возвращением, различающихся составом, совпа-

дает с числом способов, каким можно расположить пограничный элемент на

позициях, а это число равно . Следовательно,

 

(12)

 

Примечание. В комбинаторных расчетах часто используется формула Стирлинга

, (13)

 

которая облегчает вычисление при больших значениях .

 


Дата добавления: 2015-11-30; просмотров: 31 | Нарушение авторских прав



mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.008 сек.)