Оценка точности аппроксимации

Введение

В настоящее время автоматизация играет ведущую роль в промышленности. Автоматизация – это процесс, при котором функции управления и контроля выполняются методами и средствами автоматики.

При автоматизации технологических процессов создаются системы автоматического регулирования, состоящие из объекта регулирования и регулятора. Задачей регулятора является поддержание регулируемой величины на заданном значении. При регулировании возникает переходный процесс. Качество переходного процесса определяется параметрами качества регулирования, такими как степень затухания, степень колебательности, перерегулирование, время регулирования, статическая ошибка и интегральный квадратичный критерий. Для достижения требуемого качества регулирования нужно рассчитывать оптимальные настройки регулятора.

Все дальнейшие вычисления будут способствовать расчету оптимальных настроек и исследованию динамических характеристик системы автоматического регулирования.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОБЪЕКТА РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОМ «ПЛОЩАДЕЙ»

Построение математической модели линейной системы по экспериментальной переходной функции производится в следующем порядке:

1) на основании формы переходной функции и в зависимости от физических свойств исследуемой системы устанавливается вид передаточной функции модели;

2) определяются значения коэффициентов передаточной функции на условия наилучшего приближения модели объекта;

3) производится оценка точности аппроксимации.

Одним из наиболее простых и удобных для счета на ЦВМ методов аппроксимации переходных процессов является метод «площадей» (программа КР-1)

Рассмотрим функцию h(t), которая получена из экспериментальной переходной функции объекта путём исключения чистого запаздывания и нормировки. Пусть h(o)= (o)=0.

При аппроксимации функции h(t) на практике обычно задаются следующими структурами передаточной функции модели:

(1.1) (1.2)

; (1.3)

Выражение , обратное передаточной функции модели, можно разложить в ряд по степеням p:

(1.4)

Очевидно, что для модели (1.1)

для модели (1.2) для модели (1.3) коэффициенты ,

i = 1, 2, 3 связаны с коэффициентами разложения (1.4) системой уравнений:

(1.5)

Для определения S_i воспользуемся связью между S и некоторыми функциями от (1-h). Величину L(1-h) можно представить так:

.

Отсюда ,

или . (1.6)

Разложим функцию в ряд по степеням pt

(1.7)

Подставив этот ряд в уравнение (1.6), получим с учетом формулы (1.4) выражение:

(1.8)

Из выражения (1.8) следует, что коэффициенты Si связаны с переходной функцией h(t) соотношениями:

Моментом i-го порядка функции 1-h(t) называется несобственный интеграл:

(1.9)

Тогда формулу можно преобразовать:

,

(1.10)

Таким образом, определив по графику h(t) значения M_i методом численного интегрирования и вычислив из соотношений величины «площадей» S_i, нетрудно найти значение коэффициентов передаточной функции моделей (1.1-1.3).

Выбор вида передаточной функции модели производится из следующих соображений: если коэффициенты S1,S2,S3 положительны, то в зависимости от вида функции h(t) задаются моделью (1.1) или (1.2). Если хоть один из них отрицателен, задаются моделью (1.3).

Перед обращением к программе из экспериментальной кривой разгона необходимо выделить время чистого запаздывания ϊ, затем провести дискретизацию по времени с шагом ∆t и нормировку. Шаг квантования по времени выбирается таким, чтобы на интервале между двумя соседними отсчетами переходная функция была близка к прямой.

Приведение кривой разгона к нормированному, то есть безразмерному виду осуществляется с помощью формулы:

. (1.11)

Пример

Рассчитать и исследовать систему автоматического регулирования температуры пароагрегатной смеси (ПАС), рис 1.1.

Рис. 1.1. Функциональная схема системы

Исходные данные

Канал регулирующего воздействия изменения задачи регулятору на °С- кривая разгона объекта:

t,мин		0,5		1,5		2,5		3,5
0°С		38,2	38,4	38,6	38,9	39,3		40,5	40,9

4,5		5,5		6,5		7,5
41,2	41,5	41,8	41,9	41,9

Канал возмущающего воздействия (изменение расхода сырья на 20% хода регулирующего органа) – передаточная функция объекта в виде апериодического звена 1 порядка:

где K=0,2°С/% хода р.о.; Т=1,7 мин.

Проведем нормировку кривой разгона. Дискретизацию по времени выберем ∆t=5. Нормированная переходная функция приведена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Нормированная переходная функция объекта

После обращения к программе КП-1 вычисления коэффициентов передаточной функции методом «площадей», на основании полученных результатов зададимся моделью (1.2), т.е. окончательно

Оценка точности аппроксимации

Заключительным этапом построения математической модели объекта является оценка точности аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 0,05-0,07. Расчет переходной функции модели, имеющей передаточную функцию (1.2) удобно производить путем численного интегрирования на ЭВМ, описывающей ее системой дифференциальных уравнений.

Для этого исходная система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных:

…………………………………

где - аргумент функции y_k(x).

Полученная система дифференциальных уравнений первого порядка решается с помощью численного интегрирования методом Рунге-Кутта второго порядка. Для дифференциального уравнения первого порядка

(1.13)

при начальном условии алгоритм вычислений этим методом на каждом шаге интегрирования имеет вид

(1.14)

где h – шаг интегрирования, величина которого должна обеспечивать неравенство

,

где T_i – наименьшая постоянная времени системы.

Произведем оценку точности аппроксимации системы, на случай, когда аппроксимирующая передаточная функция имеет вид

(1.15)

Запишем дифференциальное уравнение

Введем новые переменные

(1.16)

при возмущающем воздействии

(1.17)

Обозначив, запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:

(1.18)

Полученную систему дифференциальных уравнений решим методом Рунге-Кутта второго порядка (программа КР-2).

Результаты расчета приведены на рис.1.3.

Расчет переходной функции модели на ЭВМ и сравнение ее с экспериментальной переходной функцией показали, что расхождение между ними , т.е. погрешность аппроксимации составляет менее 3%.

Рис. 1.3. Сравнение переходной функции модели с экспериментальной функцией

Дата добавления: 2015-11-14