Расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных частотных характеристик

Система автоматического регулирования должна, прежде всего, удовлетворять двум основным требованиям. Во-первых, система должна иметь достаточный запас устойчивости, наличие которого гарантирует защиту системе автоматического регулирования от потерь устойчивости при всегда существующих в реальных условиях изменениях статических и динамических характеристик, входящих в нее звеньев. Второе требование заключается в том, что в пределах запаса устойчивости не менее заданного, качество регулирования должно быть наилучшим.

Рассматриваемый метод базируется на критерии устойчивости Найквиста, который можно интерпретировать как критерий запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения, если ввести понятие расширенной амплитудно-фазовой характеристики.

Расширенная амплитудно-фазовая характеристика является частным случаем передаточной функции. Для нее оператор p=-mw±jw, где w - круговая частота; m - степень колебательности (постоянная величина для данной расширенной амплитудно-фазовой характеристики, которая является критерием запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы).

Подобно тому, как обычная АФХ есть отображение на плоскости передаточной функции мнимой оси плоскости комплексного переменного p, расширенная АФХ есть отображение лучей, исходящих из начала координат, в левой полуплоскости под углом arctg m по отношению к положительной и отрицательной полуосям. Эта характеристика может быть получена из передаточной функции подстановкой p=-mw±jw или определена графоаналитическим методом по обычной АФХ.

Амплитудно- фазовый критерий устойчивости как критерий запаса устойчивости по РАФХ можно сформулировать: «Если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы W_po(m, jw) при изменении w от 0 до ¥ проходит через точку с координатами (-1; j0) не охватывая ее на более высоких частотах, то корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены в левой полуплоскости на лучах -mw±jw и внутри сектора, ограниченного этими лучами».

Рис.2.1. Область заданного запаса устойчивости m≥m_зад, в плоскости корней характеристического уравнения замкнутой системы (плоскости p)

Аналитически это условие записывают в виде:

W_po(m, jw)= W₀(m, jw)W_p(m, jw) = -1; (2.1)

Имея в качестве исходных данных математическую модель объекта, из условия (2.1) можно найти параметры регулятора, обеспечивающего работу системы с заданным запасом устойчивости m=m_зад. П-, И-, ПИ-закон регулирования.

Пусть

W_pс(m, jw)= W₀(m, jw) W_p(m, jw) (2.2)

где

W₀(m,jw)=U+jV (2.3)

-амплитудно-фазовая характеристика объекта по каналу регулирующего воздействия.

(2.4)

-амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора.

Подставляя (2.2), (2.3) и (2.4) в выражение (2.1), получим:

(2.5)

или

(2.6)

Из уравнения (2.6) получим систему двух уравнений с тремя неизвестными w, K_p, K_p /Т_и:

(2.7)

Решая систему (2.7) относительно неизвестных (K_p/Т_и) и K_p будем иметь:

(2.8)

(2.9)

АФХ объекта удобно представить в следующей форме:

(2.10)

где А₀(m,w) - РАЧХ объекта; F₀(m,w) - РФЧХ объекта.

Из сравнения выражений (2.3) и (2.10) следует, что:

U=A₀(m,w) cos F₀(m,w) (2.11)

V= - A₀(m,w) sin F₀(m,w)

Подставляя эти выражения в формулы (2.8) и (2.9) получим окончательно:

(2.12)

В плоскости параметров настройки ПИ-регулятора (в плоскости с координатами K_p/Т_и , K_p) выражения (2.11) и (2.12) описывают параметрическую кривую, которая вместе с прямой (K_p/Т_и)=0 ограничивает область заданного запаса устойчивости. Эта область является отображением на плоскости параметров настройки K_p/Т_и, K_p сектора в плоскости комплексного переменного p, ограниченного лучами, исходящими из начала координат в левой полуплоскости под углом arctg m. Изменение частоты w, а следовательно, и изменение положения точки на кривой, описываемой уравнениями (2.11) и (2.12), соответствует перемещению пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения по лучам p=- mw ± jw.

Настройки лежащие вне области, ограниченной кривой (2.11), (2.12) и прямой (K_p/Т_и)=0, соответствуют корням характеристического уравнения вне сектора, ограниченного лучами p=- mw ± jw, И- и П-регуляторы являются частыми случаями ПИ-регулятора. Настройки их лежат соответственно на оси K_p=0 и (K_p/Т_и)=0.

Для И-регулятора из выражения (2.12) следует, что:

, т.е.

С учетом этого из (2.11) получим:

(2.13)

где w^* - частота, для которой выполняется условие:

(2.14)

Для П-регулятора из выражения (2.11) следует, что:

, т.е.

С учетом этого из (2.12) получим:

(2.15)

где w^** - частота, для которой выполняется условие:

(2.16)

Рис. 2.2. Граница устойчивости m=0 и линия заданного запаса устойчивости m=m_зад в плоскости параметров настройки ПИ-регулятора

ПИД-регулятор

Выражение (2.1) и последующая методика вывода формул (2.11), (2.12) могут быть использованы и при выводе формул границ областей запаса устойчивости m=const для ПИД-регулятора, имеющего передаточную функцию:

(2.17)

Для определения параметров настройки ПИД-регулятора из условия (2.1), получим формулы следующего вида:

(2.18)

(2.19)

Пространство параметров настройки регуляторов при этом трехмерное. Задаваясь различными значениями параметра K_pT_пр строят в плоскости K_p, K_p/Т_и кривые равной степени колебательности. Определив оптимальные настройки (K_p/Т_и)_опт и (K_p)_опт для каждого значения K_pT_пр, выбирают лучшую из них.

В соответствии с изложенной методикой на ЭВМ для объектов с передаточной функцией:

(2.20)

составлена программа КР4 расчета линии m=m_зад в плоскости параметров типовых регуляторов. На рис 2.3 приведены результаты расчета линии m=0,366 для объекта с передаточной функцией:

Рис. 2.3. Линии запаса устойчивости m=0,366 для системы автоматического регулирования

Вторым этапом методики является определение настроек, обеспечивается в выбранной области наилучшее качество регулирования.

Оптимальные настроечные параметры регуляторов находятся из условия минимума интегрального квадратичного критерия качества:

(2.21)

Согласно которому определяется w_р=1,2w₀, соответствующая т. А на кривой m=m_зад(см.рис.2.4). П- и И-регуляторы являются частными случаями ПИ-регулятора. Настройку П-регулятора определяют при S₀=0, а настройку И-регулятора - при S₁=0 на кривой m=m_зад.

Рис. 2.4. Выбор оптимальных настроек на линии равной степени колебательности

Оптимальная настройка ПИД регулятора, соответствующая минимуму интегрального критерия качества имеет вид:

или

Согласно (I_кв)min оптимальная настройка регуляторов выглядит следующим образом:

K_p^опт=3,3; (K_р/Т_и)^опт=0,48; К_рТ_пр=0,32.

На рис. 2.5 приведены результаты расчета нормальной АФХ объекта и расширенной АФХ объекта (программы 3 и 4).

Рис. 2.5. Нормальная АФХ и расширенная АФХ объекта

Дата добавления: 2015-11-14