Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Задана вибірка 9, 7, 4, 11, 15, 4, 4, 9, 15, 4, 7, 9, 7, 15, 11, 4, 9, 4, 15, 9.

а) Побудувати емпіричну функцію розподілу вибірки і знайти її значення при .

б) Знайти розподіл відносних частот отриманого дискретного ряду.

Розв’язування.

а) Варіаційний ряд побудований на підставі даних вибірки буде таким: 4, 4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 9, 9, 9, 9, 9, 11, 11, 15, 15, 15, 15.

Тепер побудуємо дискретний ряд розподілу (див. табл. 4)

Таблиця 4

Варіанта	Частота	Нагромаджена частота

Урахувавши дані таблиці 4, емпіричну функцію розподілу можна зобразити такою формулою

Таким чином

б) Поділивши знайдені частоти на обсяг вибірки одержимо шукані відносні частоти (див. табл. 5).

Таблиця 5

Варіанта
Частість	0,3	0,15	0,25	0,1	0,2

2. За даним розподілом вибірки (див. табл. 6) знайти вибіркову середню.

Таблиця 6

Варіанта
Частота

Розв’язування. Скористаємось спочатку формулою (9). Оскільки задані в табл. 6, а , то

Однак, шукану величину можна знайти простіше використавши формулу (10). В якості постійної візьмемо найменшу варіанту . Тоді Звідси

Видно, що результати вийшли однакові. Тобто вибіркова середня дорівнює 13,6.

3. Визначити незміщену оцінку дисперсії генеральної сукупності, якщо за вибіркою обсягу знайдена зміщена оцінка генеральної дисперсії

Розв’язування. Шукана незміщена оцінка дорівнює виправленій дисперсії, яка обчислюється за формулою (23)

4. Внаслідок одинадцяти зважувань деталі однією вагою (без систематичних похибок) одержані такі результати (у грамах): 125; 127; 123; 125; 126; 124; 123; 126; 127; 124; 125. Знайти

а) вибіркову середню ваги деталі;

б) вибіркову і виправлену дисперсії похибок ваги;

в) моду і медіану варіаційного ряду.

Розв’язування. Упорядкувавши наш ряд отримаємо 123; 123; 124; 124; 125; 125; 125; 126; 126; 127; 127. Оскільки початкових даних небагато, то обійдемось без побудови таблиці дискретного ряду.

а) Вибіркова середня буде дорівнювати:

б) Тепер знайти вибіркову дисперсію простіше за формулою (17)

.

Виправлена дисперсія буде дорівнювати

в) Найчастіше зустрічається у варіаційному ряді вага 125 г. Тому .

Оскільки варіаційний ряд має непарну кількість елементів , то медіана дорівнює варіанті з номером Тобто .

Співпадіння вибіркової середньої, моди і медіани слідує також із того, що варіаційний ряд симетричний відносно своєї шостої варіанти .

5. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з генеральним середнім квадратичним відхиленням . Зроблена вибірка обсягу . З надійністю знайти довірчий інтервал невідомого математичного сподівання цього розподілу.

Розв’язування. Згідно формули (29) потрібно знайти довірчий інтервал

.

За умовою і , а невідоме знайдемо за таблицею додатка 2 і відомим значенням функції Лапласа Звідси .

Отже, довірчий інтервал буде

; .

Якщо, наприклад. , то з надійністю 99% інтервал покриває параметр з точністю 0,64375.

6. При рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні та теоретичні частоти

Таблиця 7

Розв’язування. В умові задачі теоретичні частоти задані, тому не потрібно їх розраховувати. Оскільки , то за формулою (32)

З таблиці критичних точок розподілу для та знаходимо

Для обчислення за формулою (31) використаємо розрахункову таблицю (див. табл. 8).

Таблиця 8

		-1		0,07
		-4		0,38

Закінчення таблиці 8

		-8		0,78
				0,49
				1,07
		-7		1,32
				0,08

Просумувавши числа в останньому стовпчику, знайдемо . Оскільки 7,19 < 11,1, тобто , тому за правилом Пірсона гіпотезу треба прийняти. Це є наслідком того, що розбіжність емпіричних та теоретичних частот незначна.

Додатки

Додаток 1

Таблиця значень функції

х
0,0	0,3989
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0	0,2420
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0	0,0540
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0	0,0044
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9

Додаток 2

Таблиця значень функції

х
0,0	0.0000
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
х			х			х
3,0	0,4986		3,4	0,49966		3,8	0,49993
3,1	0,4990		3,5	0,4998		3,9	0,49995
3,2	0,4993		3,6	0,4998		4,0	0,499968
3,3	0,4995		3,7	0,49989		5,0	0,499999

Додаток 3

Таблиця значень

	0,95	0,99	0,999		0,95	0,99	0,999
	2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10	4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88	8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92		2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,991 1,987 1,984 1,980 1,960	2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2,640 2,633 2,627 2,717 2,576	3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 3,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291

Додаток 4

Таблиця значень функції

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
	0,90484 0,09048 0,00452 0,00015	0,81873 0,16375 0,01638 0,00109 0,00006	0,74082 0,22225 0,03334 0,00333 0,00025 0,00002	0,67032 0,26813 0,05363 0,00715 0,00072 0,000006	0,60653 0,30327 0,07582 0,01264 0,00158 0,00016 0,00001

Таблиця значень функції

	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,54881 0,32929 0,09879 0,01976 0,00296 0,00036 0,00004	0,49659 0,34761 0,12166 0,02839 0,00497 0,00070 0,00008 0,00001	0,44933 0,35946 0,14379 0,03834 0,00767 0,00123 0,00016 0,00002	0,40657 0,36591 0,16466 0,04940 0,01112 0,00200 0,00030 0,00004

	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0
	0,36788 0,36788 0,18394 0,06131 0,01533 0,00307 0,00051 0,00007 0,00001	0,13534 0,27067 0,27067 0,18045 0,09022 0,03609 0,01203 0,00344 0,00086 0,00019 0,00004 0,00001	0,04979 0,14936 0,22404 0,22404 0,16803 0,10082 0,05041 0,02160 0,00810 0,00270 0,00081 0,00022 0,00006 0,00001	0,01832 0,07326 0,14653 0,19537 0,19537 0,15629 0,10419 0,05954 0,02977 0,01323 0,00529 0,00193 0,00064 0,00020 0,00006 0,00002	0,00674 0,03369 0,08422 0,14037 0,17547 0,17547 0,14622 0,10445 0,06528 0,03627 0,01813 0,00824 0,00343 0,00132 0,00047 0,00016 0,00005 0,00001

Додаток 5

Дата добавления: 2015-11-14