Типові задачі і їх розв’язуваня

1. Складові та дискретної випадкової величини , яка задана своїм законом розподілу (див. табл. 1), характеризують якість виробленої продукції. Визначити безумовні закони розподілу випадкових величин та і обчислити

Таблиця 1

	-2
	0,15	0,1	0,05
		0,2	0,1	0,1
	0,05		0,15	0,1

Розв’язування. Для визначення закону розподілу випадкової величини використаємо із (4) першу формулу

Тобто, Отже, закон розподілу випадкової величини має вигляд

Таблиця 2

	0,3	0,4	0,3

Аналогічно за формулою

будемо мати Ураховуючи ці значення, закон розподілу випадкової величини буде мати вигляд

Таблиця 3

	-2
	0,2	0,3	0,3	0,2

Для обчислення дисперсій випадкових величин та вирахуємо спочатку їхні початкові моменти першого та другого порядку, тобто, В результаті одержимо

Звідси

2. За законом розподілу дискретної двовимірної випадкової величини

Таблиця 4

-1	0,1	0,15		0,05
		0,25	0,15	0,1
			0,15	0,05

вивести умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що , умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що , знайти умовні математичні сподівання і

Розв’язування. Знайдемо умовні ймовірності випадкової величини за формулою (5)

де . Оскільки то

Отже, умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина набуде значення , має вигляд

Таблиця 5

	-1
	0,25	0,5	0,25

Аналогічно, використовуючи формулу (6), знайдемо умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що . Оскільки то

Тому, умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що випадкова величина набуде значення , буде мати вигляд

Таблиця 6

		0,5	0,3	0,2

Тепер знайдемо шукані умовні математичні сподівання. При цьому урахуємо, що вони розраховуються за формулами (7), (8).

3. За заданою функцією розподілу

неперервної двовимірної випадкової величини знайти ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник, обмежений прямими

Розв’язування. Ймовірність того, що випадкова точка попаде у прямокутник , можна обчислити за формулою (2)

або за другою властивістю двовимірної щільністю розподілу.

Скориставшись цією формулою, одержимо

4. Неперервна двовимірна випадкова величина задана своєю щільністю розподілу

.

Обчислити постійну С.

Розв’язування. Скористаємось третьою властивістю двовимірної щільністю розподілу

В результаті одержимо

5. Знайти математичні сподівання складових та неперервної двовимірної випадкової величини , якщо задана щільність її розподілу

Розв’язування. Для знаходження математичного сподівання неперервної випадкової величини потрібно знати її щільність розподілу. Оскільки нам задана щільність розподілу двовимірної випадкової величини , то використаємо для цього формулу (10). Отже,

Враховуючи, що

одержимо

Тепер знайдемо математичне сподівання складової :

Отриманий інтеграл будемо знаходити за частинами. Нехай , а Звідси а Тоді

Урахувавши, що інтеграл Пуассона , одержимо

Аналогічно одержимо

і

6. Знайти коефіцієнт кореляції компонент двовимірного випадкового величини , заданого своїм законом розподілу (див. табл. 7).

Таблиця 7

	-1
	0,15	0,05	0,1
	0,25	0,15	0,3

Розв’язування. Щоб обчислити коефіцієнт кореляції, потрібно знати величину коваріації випадкового вектора та середні квадратичні відхилення його складових (див формулу (24)). Тому спочатку знайдемо закони розподілу складових та . Вони будуть мати вигляд (див розв’язування задачі 1):

Таблиця 8

	-1
	0,4	0,2	0,4

Таблиця 9

	0,3	0,7

Тепер розрахуємо середні квадратичні відхилення випадкових величин та .

Коваріацію випадкової величини знайдемо за формулою (22)

Розрахуємо початковий момент (1+1) порядку.

Тобто

Звідси

Остаточно одержимо

Дата добавления: 2015-11-14