Методические указания

Методы интерполирования функций

Цель работы: Изучение методов интерполяции функций.

Методические указания

Интерполяция функции y=f(x) одной переменной x, заданной (n+1) узлами (y_i, x_i), где i= 0, 1, 2……n, заключается в нахождении значений y по значениям x, находящимся в промежутках между узлами x_i. При интерполяции функция f(x) заменяется интерполяционным полиномом F(x), значения которого в узлах F(x_i) точно совпадают с y_i. Значение n задает степень полинома F(x).

При интерполировании с произвольным расположением узлов интерполяции можно использовать интерполяционный полином Лагранжа или применить более удобный для программирования вычислений метод Эйткена.

Интерполяционный полином Лагранжа имеет вид

или в более общем виде

Интерполяция по методу Эйткена заключается в вычислении y = f(x) без явного построения интерполяционного полинома. Последнее достигается путем последовательного применения формул линейной интерполяции.

В общем случае, если даны n+1 значений аргумента и соответствующих им значений функции, то интерполяционный полином n-ой степени строится по формуле

,

в которую входят предполагаемые построенными многочлены предыдущей степени. На рисунке представлена схема программы интерполирования функции по методу Эйткена.

Построение интерполяционных формул при равномерном задании узлов с шагом h () значительно упрощается. В данном случае можно применить интерполяционные формулы Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона имеет вид

где Dⁱy₀ – конечные разности y₀.

Этой формулой следует пользоваться при вычислении значений f(x) для значений аргумента между x_{0 и} x₁ , т.е. для t<1. Переходя к интервалу x₁ <x< x₂ не целесообразно брать ту же формулу (т.к. t>1). В этом случае удобнее принимать за x₀ следующий узел интерполяции.

Применение этой формулы удобно в начале таблицы, функции где имеется достаточное число разностей.

Для применения в конце таблицы используется вторая интерполяционная формула Ньютона (интерполяционная формула для интерполирования назад)

Когда нецелесообразно использовать все заданные узлы функции для ее интерполирования применяются методы многоинтервальной интерполяции. Многоинтервальная интерполяция заключается в интерполяции y = f(x) в ряде частичных интервалов (ограниченных двумя узлами или группой узлов) отдельными полиномами невысокой степени.

Мнгоинтервальная кусочно-линейная интерполяция. Степень полинома в данном случае равна 1 и не зависит от числа узлов. Вычисление F(x) при заданном x выполняется по формуле

Многоинтервальная квадратичная интерполяция. Заключается в задании четного числа интервалов дискретизации функции (n четное). Степень интерполяционного полинома равна 2.

Сплайн интерполяция. Специальный вид многоинтервальной интерполяции, при котором интерполирующий полином обеспечивает не только равенство y_i в узлах, но и непрерывность заданного числа первых производных на границах частичных интервалов.

Кубический сплайн. Задается локально и представляет собой полином третьей степени.

где m_i, m_i+1 – первые производные f(x).

Производные локального сплайна могут задаваться двумя способами

1. Производные вычисляются с помощью формул численного дифференцирования по трем точкам

2. Значения m_i вычисляют отдельно или получают графически по наклонам в узлах и задают непосредственно в виде массива m_i.

Дата добавления: 2015-11-14