Методические указания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Методы решения систем линейных уравнений

Цель работы: Изучение прямых и итерационных методов решения систем линейных уравнений

Методические указания

Системы из n линейных уравнений вида

AX=B,

где А – матрица коэффициентов, B – вектор свободных членов, X – вектор неизвестных

решаются прямыми и итерационными методами. Прямые методы дают точное решение за конечное число операций, если все они выполняются без погрешности. Число операций у итерационных методов зависит от заданной погрешности вычислений.

К прямым методам относится такие, как наиболее известный из прямых методов – метод Гаусса и метод LU–факторизации.

Метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных основан на приведении матрицы коэффициентов A к треугольному виду. Приведение матрицы коэффициентов к треугольному виду осуществляется в результате выполнения алгоритма прямого хода (метода исключения), общую формулу которого можно записать следующим образом

Для определения вектора неизвестных необходимо произвести обратную подстановку. Так как в результате прямого хода , формула обратного хода для определения остальных членов вектора неизвестных имеет вид

На рисунке приведена схема программы решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

Алгоритм метода LU– факторизации близок к методу Гаусса. Данный метод основан на разложении матрицы коэффициентов A на сомножители A = LU, где L – нижняя треугольная матрица, а U – верхняя треугольная матрица.

Определив вспомогательный вектор Z =UX находят его элементы из системы LZ = B. Затем решают систему UX = Z относительно X.

Для определения вектора Z используют формулу прямой подстановки

Вектор неизвестных X находят по формуле обратной подстановки

Итерационные методы обладают свойством самоисправления ошибок в ходе вычислений и могут применяться в особых случаях, например, когда матрица коэффициентов A сильно разрежена.

Метод простых итераций. Его сходимость гарантируется, если значения диагональных элементов матрицы A превосходят остальные. Однако это снижает применимость метода. Метод простых итераций заключается в том, что при заданных начальных приближениях вычисляются последовательные приближения корней по формуле простых итераций

до тех пор, пока , где (j)– номер итерации, e – заданная погрешность вычислений.

В методе Зейделя итерационный процесс подобен описанному для метода простых итераций, однако уточненные значения корней сразу подставляются в последующие уравнения, а формула итерационного процесса имеет вид

Условия сходимости для этого метода те же, что и для метода простых итераций.

Дата добавления: 2015-11-14