Математическое описание законов движения 3 страница

Результирующее перемещение равно векторной сумме последовательных перемещений

Результат сложения перемещений не зависит от последовательности, в которой происходили эти перемещения.

Для нахождения результирующего перемещения надо соединить начало первого перемещения с концом последнего.

Путь – длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени

(Длина траектории, по которой движется тело в течении некоторого промежутка времени, называется путем)

Единица пути – Метр (М)

Обозначение: S

Путь – это физическая величина, которую можно измерить.

Путь равен модулю вектора перемещения при прямолинейном движении в одном направлении.

При криволинейном движении путь больше модуля вектора перемещения.

(В геометрии искривленного пространства Лобачевского или Римана, в отличие от Евклидового пространства, результирующее перемещение зависит от последовательности перемещений)

Примеры неевклидового пространства:

а) пространство Лобачевского. Сумма углов пространственного треугольника меньше 180⁰

б) пространство Риммана. Сумма углов пространственного треугольника больше 180⁰

В этих пространствах сумма перемещений зависит от порядка слагаемых:

СКОРОСТЬ (уч.10кл.стр.32-38)

Определение и единицы измерения.

Средняя путевая скорость. Определение, пример определения

Мгновенная скорость Определение,. Формула

Определение модуля мгновенной скорости

График скорости

Вектор скорости. Пример изменения вектора при движении по кругу

Определение мгновенной скорости как векторной величины. Ее направление

Скорость, как производная перемещения по времени (математический смысл)

Ускорение как изменение мгновенной скорости при движении по окружности (см. ниже)

Изменение положения движущегося тела в пространстве характеризуют – векторная величина – перемещение, и скалярная – путь. Однако они не содержат информации, как быстро происходит это изменение.

Скорость v - векторная величина, характеризует быстроту движения, и конечное направление, и равна отношению перемещения тела к интервалу времени, за которое это перемещение произошло.

V = (определение справедливо только для равномерного прямолинейного движения)

Единица измерения – М/с

На практике используют и другие единицы, например – Км/час

Средняя путевая скорость – скалярная величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко всему времени, затраченному на его прохождение, включая остановки.

v_ср = =

Средняя скорость является достаточно приблизительной характеристикой движения.

Мгновенная скорость – средняя скорость за бесконечно малый интервал времени.

Мгновенная скорость – скорость в данный момент времени t₀.

v_мгн= v_ср= (= производная по времени)

По мере уменьшения интервала ∆t средняя скорость v_ср приближается к мгновенной v_мгн

Модуль мгновенной скорости численно равен расстоянию, которое может пройти тело за единицу времени, продолжая двигаться так, как оно двигалось в данный момент времени.

Для определения вектора мгновенной скорости надо воспользоваться вектором мгновенного перемещения.

Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная пределу отношения перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение произошло.

(производная первого порядка перемещения по времени)

Пропорциональность векторов мгновенной скорости и перемещения означает, что их направления совпадают.

При ∆t→0 вектор ∆r соединяет две бесконечно близкие точки на траектории.

Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории в сторону его движения.

При определении относительной скорости тела скорости складываются и вычитаются, как вектора.

График скорости – график зависимости модуля мгновенной скорости от времени.

При равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает равное перемещение.

Равномерное прямолинейное движение – движение, при котором тело перемещается с постоянной по модулю и направлению скоростью

= const

Площадь под графиком зависимости проекции скорости движения от времени равна перемещению тела (вдоль соответствующей оси координат) от времени

Закон равномерного прямолинейного движения

x = x₀ + v_xt (уравнение прямой)

Если совместить начало отсчета с начальной точкой

x = v_xt (уравнение прямой, проходящей через начало координат)

Графиком зависимости координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении является прямая линия.

Угол наклона прямой характеризует скорость тела (из математики v_x=tgα)

Больший угол наклона означает большую скорость

Чем круче график движения, тем больше скорость тела.

УСКОРЕНИЕ (уч.10кл.стр.41-43)

Определение ускорения. Единицы измерения. Примеры

Вектор ускорения. Направление

Определение и формула вектора мгновенного ускорения.

Ускорение при прямолинейном движении. Направление векторов ускорения и скорости

Тангенциальное и нормальное ускорения. Направление векторов ускорения и скорости

Ускорение как изменение вектора мгновенной скорости при движении по окружности(см. ниже)

Ускорение как производная скорости по времени (математический смысл)

Ускорение – векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и по направлению.

Ускорение -векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная отношению изменения скорости ко времени, в течении которого это изменение произошло:

a =

Единица измерения – м/с²

Вектор – всегда направлен туда же, куда вектор изменения скорости Dv

Понятие ускорения введено Галилеем при изучении падения тел под действием силы тяжести.

Изменение скорость ∆ при криволинейном движении за промежуток времени Dt:

Мгновенное ускорение – векторная физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, в течении которого это изменение произошло:

Мгновенное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени

Вектор ускорения имеет две составляющие – направленную по касательной (как вектор мгновенной скорости) и направленную по нормали (перпендикулярно) к траектории.

Ускорение, направленное по касательной к траектории, называется касательным или тангенциальным ускорением.

Обозначается a_τ

Ускорение, направленное по перпендикулярно к траектории, называется нормальным или центростремительным ускорением.

Обозначается a_n

При прямолинейном движении тела нормальное ускорение равно нулю a_n=0, поэтому мгновенное ускорение совпадает с тангенциальным.

При прямолинейном ускоренном движении вектор ускорения параллелен вектору скорости

равноускоренное движение

равнозамедленное движение

РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОУСКОРЕННОЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ (уч.10кл.стр.38-40, 44-50)

Определение равномерного прямолинейного движения

Закон равномерного прямолинейного движения

Графики скорости и пути при равномерном движении

Физический смысл угла наклона графика пути равномерного прямолинейного движения

Определение равноускоренного прямолинейного движения (см.ниже уч.10кл.стр.44-50)

Закон равноускоренного прямолинейного движения (см.ниже)

Графики скорости и пути при равноускоренном движении (см.ниже)

При равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает равное перемещение.

Равномерное прямолинейное движение – движение, при котором тело перемещается с постоянной по модулю и направлению скоростью

= const

Площадь под графиком зависимости проекции скорости движения от времени равна перемещению тела (вдоль соответствующей оси координат) от времени

Закон равномерного прямолинейного движения

x = x₀ + v_xt (уравнение прямой)

Если совместить начало отсчета с начальной точкой, то

x = v_xt (уравнение прямой, проходящей через начало координат)

Графиком зависимости координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении является прямая линия.

Угол наклона прямой характеризует скорость тела (из математики v_x= tgα)

Больший угол наклона означает большую скорость

Чем круче график движения, тем больше скорость тела.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
(уч.10кл.стр.44-50)

Определение равноускоренного движения

График скорости от времени при равномерном и равноускоренном движении

Физическая сущность площади под графиком скорости.

Перемещение при равноускоренном движении. График перемещения

Равноускоренное движение с начальной скоростью. Формула скорости. График скорости и физическая сущность площади под ним.

Закон равноускоренного прямолинейного движения.

Равнозамедленное движение. Его график

Равнопеременное прямолинейное движение. Определение. Формула скорости и перемещения.

Равномерное прямолинейное движение и его закон (см. выше уч.10кл.)

Ускорение (см. выше уч.10кл.)

Равноускоренное прямолинейное движение – прямолинейное движение, при котором ускорение параллельно (сонаправлено) скорости и постоянно по модулю

a = const

Скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении возрастает с течением времени линейно (пропорционально первой степени t)

Графиком v_x(t) является прямая.

Коэффициентом пропорциональности между скоростью и временем при равноускоренном движении является ускорение. Чем больше ускорение, тем больше скорость движения в данный момент времени, больше угол наклона прямой α

Модуль перемещения тела численно равен площади под графиком зависимости скорости движения от времени.

Для равноускоренного прямолинейного движения без начальной скорости перемещение тела равно площади треугольника под прямой: x - x₀ = ∆x =

(При выборе начала отсчета времени имейте ввиду, что отрицательное время – время до условно выбранного нуля отсчета)

При ненулевой начальной скорости зависимость скорости тела от времени является линейной

v = v₀ +at

График – прямая линия, проходящая через точку v₀

Площадь под графиком равна перемещению тела за время t.(площадь трапеции)

X = x₀ + v₀t +

Равнозамедленное прямолинейное движение – прямолинейное движение, при котором ускорение антипараллельно (противоположно направлено) скорости и постоянно по модулю

a = const

При равнозамедленном прямолинейном движении

x = x₀ + v₀t -

Графиком является парабола

Физический смысл правой части параболы - уменьшение координаты соответствует движению тела в обратном направлении.

Равнопеременное прямолинейное движение – движение с постоянным по модулю и направлению ускорением

= const

Зависимость скорости от времени при равноускоренном и равнозамедленном движении можно рассматривать как частные случаи равнопеременного движения

v _x = v_0x +a_xt

Закон равнопеременного движения:

x = x₀ + v_0xt +

Проекции скоростей и ускорений могут быть как положительными, так и отрицательными.

СВОБОДНОЕ ПАДЕНИЕ ТЕЛ (уч.10кл.стр.52-55)

Определение свободного падения тел. Опыты Галилея, Бойля, Гюйгенса

Ускорение свободного падения (см.ниже уч.10кл.)

Падение тел в воздухе. Сопротивление воздуха.

Свободное падение без начальной скорости. Формулы.

Формулы времени м скорости падения с высоты.

Формулы времени, максимальной высоты при бросании тела вверх с начальной скоростью.

Формулы баллистики. (уч.10кл.стр.61-68)

Все тела независимо от их массы в отсутствии сил сопротивления воздуха падают на землю с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.

Впервые это экспериментально доказал Галилео Галилей. Из-за отсутствия точных часов для измерения малых промежутков времени при падении тел он исследовал скольжение шаров с наклонной плоскости.

При любом угле наклона плоскости расстояние, проходимое шаром, пропорционально квадрату времени движения.

Выводы Галилея были подтверждены англичанином Робертом Бойлем, исследовавшим падение тел в сосуде, из которого был откачан воздух.

Ускорение тел при падении на землю впервые измерил Кристиан Гюйгенс в 1656 г. с помощью маятниковых часов.

Вблизи поверхности Земли g = 9.81 м/с²

Закон свободного падения хорошо наблюдать на луне, где нет атмосферы

При свободном падении без начальной скорости (точка отсчета в точке начала падения)

y = H = gt²/2

Время падения тела на землю t =

Скорость у земли: v_y = gt = g=

В поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением, т.е. равнопеременно, независимо от начальной скорости тела и ее направления

y = y₀ + v_0yt +

УСКОРЕНИЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ (уч.10кл.стр.52-53)

Свободное падение тел (см. выше)

Величина ускорение свободного падения.

Зависимость ускорения от силы тяжести согласно закону всемирного тяготения

Ускорение тел при падении на землю впервые измерил Кристиан Гюйгенс в 1656 г. с помощью маятниковых часов.

Вблизи поверхности Земли g = 9.81 м/с²

С высотой g изменяется

В поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением, т.е. равнопеременно, независимо от начальной скорости тела и ее направления

y = y₀ + v_0yt +

БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ(уч.10кл.стр.61-68)

Определение баллистики

Траектория движение в поле силы тяжести

Уравнение баллистического движения

Максимумы графика баллистического движения

Дальность полета при баллистическом движении

Скорость при баллистическом движении

Баллистическое движение при сопротивлении среды

Баллистика – раздел механики, изучающий движение тел в поле тяжести земли.

Основные допущения при рассмотрении баллистического движения:

- тело – материальная точка

- движение тела рассматривается вблизи поверхности Земли, когда высота подъема тела мала по сравнению с радиусом Земли

- сопротивление воздуха не учитывается

В Евклидовом физическом пространстве перемещение тела по координатным осям X и Y можно рассматривать независимо.

Криволинейное баллистическое движение можно рассматривать как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по оси X и равнопеременного по оси Y (под действием ускорения g)

Закон баллистического движения в координатной форме:

Þ y = x tg(α) -

Графиком баллистического движения в поле силы тяжести является парабола, проходящая через начало координат.

Время подъема на максимальную высоту (максимум функции y(t)):

t_max = =

Максимальная высота подъема:

y_max = y(t_max) =

Максимальная дальность полета (учитывая симметричность параболы и что 2sin(α)cos(α)=sin(2α)):

x_max = x(2t_max) =

Дальность полета при одной и той же начальной скорости зависит от угла, под которым тело брошено к горизонту.

Максимальное значение синуса будет при угле 2α = 90^о, следовательно максимальная дальность полета будет при угле: α = 45^о

В отсутствии сопротивления воздуха максимальная дальность полета тела в поле силы тяжести достигается при вылете под углом 45 ^о к горизонту.

При α = 45^о + β – навесная траектория

При α = 45^о - β – настильная траектория

Дальность полета при этом одинаковая

Для расчета скорости в произвольной точке траектории (направлена по касательной к траектории), и для определения угла β, который образует вектор скорости в горизонтом, достаточно знать проекции скорости на оси X и Y:

v = (по теореме Пифагора из треугольника скоростей)

tg (β) =

При равномерном движении по оси X проекция скорости остается постоянной:

v_x = v₀ cos(_α)

По оси Y действует ускорение g:

v_y = v₀ sin(α) - gt

В верхней точке траектории вертикальная составляющая компонента скорости равна нулю.

Сопротивление воздуха по мере увеличения скорости растет не линейно. Сначала пропорционально, потом примерно в квадрате от скорости, потом в кубе. Точный расчет достаточно громоздок.

КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ НА ПРИМЕРЕ ДВИЖЕНИЯ ПО ОКРУЖНОСТИ С ПОСТОЯННОЙ ПО МОДУЛЮ СКОРОСТЬЮ
(уч.10кл.стр.70-73)

Периодическое движение. Определение и примеры

Определение периода и частоты

Движение по окружности как пример периодического движения

Определение равномерного движения тела по окружности

Определение и формулы периода и частоты при равномерном движении по окружности

Фаза вращения и угловая скорость.

Определение угловой скорости и единицы измерения. Радиан, градус, оборот.

Период вращения через угловую скорость. Формула

Линейная скорость и ее вектор при движении по окружности. Формула. Зависимость от радиуса вращения.

Периодическое движение – движение, повторяющееся через равные промежутки времени.

Период – минимальный интервал времени, через который движение повторяется

Обозначение Т. Единица измерения – с

Различают два вида периодического движения:

- вращательное

- колебательное

Движение абсолютно твердого тела (не деформирующегося при движении и взаимодействии), при котором все его точки в данный момент времени движутся в одном направлении по плоскости или пространственной замкнутой траектории одинаково, называется поступательным движением.

Для его описания необходимо и достаточно описать движение одной точки тела.

Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центром на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением.

Колебательное движение – движение вдоль одного и того же отрезка с изменением направления движения

При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела остается постоянным.

Если размерами тела можно пренебречь по сравнению с радиусом окружности, то тело можно рассматривать, как материальную точку.

2π (радиан) = 360^о – один полный оборот

Положение тела в пространстве можно описать тремя способами:

- с помощью пути, пройденного от начальной точка А до точки В

Время одного полного оборота по окружности

T =

Период вращения – время одного полного оборота по окружности

- с помощью угла поворота радиус-вектора относительно его начального положения

Фаза вращения α – угол поворота радиуса-вектора в произвольный момент времени относительно его начального положения

Угол поворота в единицу времени характеризует угловую скорость

Угловая скорость – физическая величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени, в течении которого этот поворот произошел.

ω =

Единицы измерения = 1 рад/с (при измерении угла поворота в радианах)

Один полный оборот 360^o = 2π радиан

При равномерном вращении по окружности угловая скорость всех точек тела одинакова, и характеризует движения вращающегося тела в целом.

Период вращения – время одного оборота:

T =

Частота вращения – число оборотов в единицу времени:

ν =

Единица измерения – с^-1=1/с

ω = = 2πν

Линейная скорость при движении по окружности:

v = ωr = r = 2πνr

Линейная скорость растет пропорционально расстоянию r от оси вращения.

За промежуток времени t радиус-вектор поворачивается на угол α = ωt

Координаты меняются по законам синуса и косинуса

x = r cos(ωt)

y = r sin(ωt)

В случае равномерного вращения скорость меняется только по направлению

Нормальное ускорение a_n =

(математический смысл a_n = – производная скорости по времени)

при Dt→0 Dv→v (вектора v₁ и v₂ сближаются) и a_n =; φ =

Угловое ускорение: E – векторная величина

E =

Единица измерения - рад/c²

В общем случае уравнения вращательного движения:

v(t) = v₀ + at

r(t) = r₀ + v_0t +

φ(t) = ω_0t +

ω(t) = ω₀ + Et

Угловая скорость характеризует быстроту вращения

ω = (производная углового перемещения по времени)

Угловое перемещение Dj – векторная величина, равная углу поворота радиус-вектора (Dr = r₂ - r₁) и направленная перпендикулярно плоскости вращения по правилу винта

Единица измерения - рад

Связь между линейной и угловой скоростью:

v = ωr

Принцип независимости движений рассматривает движение любой точки тела как сумму двух движений – поступательного и вращательного:

ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ (уч.10кл.стр.70-73)

Вектор линейной скорости при движении по окружности и его изменение.

Природа возникновения центростремительного ускорения

Ускорение как изменение вектора скорости.

Ускорение как производная изменения скорости по времени.

Направление вектора центростремительного ускорения.

Вывод формулы центростремительного ускорения

Нормальное и тангенциальное ускорения при движении по окружности

Использование формул движения по окружности при криволинейном движении тела

Скорость тела –векторная величина. Любое изменение скорости во времени означает появление ускорения. При этом может меняться не только величина, но и вектор скорости.

Если меняется только модуль скорости – прямолинейное ускоренное движение

Если меняется только направление вектора скорости – равномерное криволинейное движение

из подобия треугольников = Þ ∆v = ∆r

Мгновенное (нормальное) ускорение

Модуль перемещения в единицу времени равен мгновенной скорости

поэтому a_n =

Направление ускорения совпадает с направлением вектора ∆v при ∆t→0, при этом точки А и В на рисунке сближаются и ∆α→0

Это означает, что при ∆t→0 вектор ∆v направлен перпендикулярно скорости (стремиться к этому). Скорость же направлена по касательной к окружности. Перпендикуляр к касательной проходит через центр окружности. Следовательно вектора ∆v и а направлены по радиусу к центру окружности.

Так, как вектор ускорения направлен к центру окружности, то это ускорение иногда называют центростремительным

Если модуль центростремительного ускорения постоянен, то тело движется по окружности.

При равномерном движении тела по окружности его ускорение направлено перпендикулярно скорости, по радиусу к центру окружности и называется нормальным или центростремительным ускорением.

a_n – индекс n означает «нормальное» (перпендикулярное) ускорение

Нормальное ускорение – ускорение, характеризующее изменение скорости только по направлению.

Нормальное ускорение перпендикулярно скорости в любой точке траектории.

a_n = = ω²r = r = 4π²ν²r

a_τ – индекс τ означает «тангенциальное» (касательное) ускорение, возникает когда скорость тела при движении по окружности меняется не только по направлению, но и по величине.

Дата добавления: 2015-11-14